第五章：久期向量模型
思维导图
久期向量的推导
[V_0 = sum_{t=t_1}^{t_n} CF_t e^{-int_0^t f(s)ds}
]
[V^prime_0 = sum_{t=t_1}^{t_n} CF_t e^{-int_0^t f^prime(s)ds}
]
[egin{aligned}
frac{V_0^{prime} - V_0}{V_0}
&= frac{1}{V_0 } sum_{t=t_1}^{t_n} CF_t (e^{-int_0^t f^{prime}(s)ds} - e^{-int_0^t f(s)ds})\
&=frac{1}{V_0}sum_{t=t_1}^{t_n} CF_te^{-int_0^t f(s)ds}(e^{-int_0^t Delta f(s)ds}-1)\
&=sum_{t=t_1}^{t_n} w_t(e^{-int_0^t Delta f(s)ds}-1)
end{aligned}
]
[h(t) = e^{-int_0^t Delta f(s)ds}
]
久期向量
对 (h(t)) 在 (0) 做 Taylor 展开：
[egin{aligned}
h(t) &= e^{-int_0^t Delta f(s)ds}\
&= h(0) + frac{1}{1!}frac{dh}{dt}|_{t=0}t + frac{1}{2!}frac{d^2h}{dt^2}|_{t=0}t^2 + cdots + frac{1}{n!}frac{d^nh}{dt^n}|_{t=0}t^n+ varepsilon\
&= 1 + frac{1}{1!}tleft(-Delta f(t)
ight)|_{t=0} +
frac{1}{2!}t^2left(Delta f(t)^2 - frac{dDelta f}{dt}
ight)|_{t=0} + cdots +
frac{1}{n!}t^nleft(-frac{d^{n-1}Delta f}{dt^{n-1}} + cdots + (-1)^{n}Delta f(t)^n
ight)|_{t=0}+ varepsilon\
end{aligned}
]
(h(t)) 可以表示为 (t) 级数与期限结构变化（(Delta f)）的组合，进而得到久期向量的表达式：
[D(m) =sum_{t=t_1}^{t_n} w_t t^m
]
广义久期向量
(g(s)) 是一个单调递增函数，且 (g(0) = 0)。
如果令 (x = g(s))，于是有 (s = g^{-1}(x))，那么
[egin{aligned}
h(t) &= e^{-int_0^t Delta f(s)ds}\
&=e^{-int_0^{g(t)} Delta f(g^{-1}(x))frac{1}{gprime(g^{-1}(x))} dx}
end{aligned}
]
令 (k(x) = Delta f(g^{-1}(x))frac{1}{gprime(g^{-1}(x))})，参照上面的过程，对
[e^{-int_0^{g(t)} Delta f(g^{-1}(x))frac{1}{gprime(g^{-1}(x))} dx}
]
在 (0) 做 Taylor 展开，那么 (h(t)) 可以表示为 (g(t)) 级数与期限结构变化（(k)）的组合，进而得到广义久期向量的表达式：
[D^*(m) =sum_{t=t_1}^{t_n} w_t g(t)^m
]
一些想法
- 广义久期向量的想法类似于对时间做了“测度变换”。
- 目前的久期向量免疫算法得到的权重保证 (L^2) 范数最小，如果要求解是“稀疏的”，可以考虑用 (L^1) 范数最小的解。
- 解的稀疏性对指数复制来说可能是个有意义的问题。