ST算法介绍:【转自http://blog.csdn.net/insistgogo/article/details/9929103】
作用:ST算法是用来求解给定区间RMQ的最值,本文以最小值为例
方法:ST算法分成两部分:离线预处理 (nlogn)和 在线查询(O(1))。虽然还可以使用线段树、树状链表等求解区间最值,但是ST算法要比它们更快,而且适用于在线查询。
(1)离线预处理:运用DP思想,用于求解区间最值,并保存到一个二维数组中。
(2)在线查询:对给定区间进行分割,借助该二维数组求最值
具体解释:
(1)离线预处理:
ST算法使用DP思想求解区间最值,貌似属于区间动态规划,不过区间在增加时,每次并不是增加一个长度,而是使用倍增的思想,每次增加2^i个长度。
使用F[i,j]表示以i为起点,区间长度为2^j的区间最值,此时区间为[i,i + 2^j - 1]。
比如,F[0,2]表示区间[0,3]的最小值,即等于4,F[2,2]表示区间[2,5]的最小值,即等于1。
在求解F[i,j]时,ST算法是先对长度为2^j的区间[i,i + 2^j - 1]分成两等份,每份长度均为2^(j - 1)。之后在分别求解这两个区间的最值F[i,j - 1]和F[i + 2^(j - 1),j - 1]。,最后在结合这两个区间的最值,求出整个区间的最值。特殊情况,当j = 0时,区间长度等于0,即区间中只有一个元素,此时F[i,0]应等于每一个元素的值。
举例:要求解F[1,2]的值,即求解区间[1,4] = {4,6,10,1}的最小值,此时需要把这个区间分成两个等长的区间,即为[1,2]和[3,4],之后分别求解这两个区间的最小值。此时这两个区间最小值分别对应着F[1,1] 和 F[3,1]的值。
状态转移方程是 F[i,j] = min(F[i,j - 1],F[i + 2^(j - 1),j - 1])
初始状态为:F[i,0] = A[i]。
在根据状态转移方程递推时,是对每一元素,先求区间长度为1的区间最值,之后再求区间长度为2的区间最值,之后再求区间长度为4的区间最值....,最后,对每一个元素,在求解区间长度为log2^n的区间最值后,算法结束,其中n表示元素个数。
即:先求F[0][1],F[1][1],F[2][1],F[3][1],,,F[n][1],再求.F[0][2],F[1][2],F[2][2],F[3][2],,,F[m][2],... 。
(2)在线处理:这里我们是已知待查询的区间[x,y],求解其最值。
在预处理期间,每一个状态对应的区间长度都为2^i。由于给出的待查询区间长度不一定恰好为2^i,因此我们应对待查询的区间进行处理。
这里我们把待查询的区间分成两个小区间,这两个小区间满足两个条件:(1)这两个小区间要能覆盖整个区间(2)为了利用预处理的结果,要求小区间长度相等且都为2^i。注意两个小区间可能重叠。
如:待查询的区间为[3,11],先尽量等分两个区间,则先设置为[3,7]和[8,11]。之后再扩大这两个区间,让其长度都等于为2^i。刚划分的两个区间长度分别为5和4,之后继续增加区间长度,直到其成为2^i。此时满足两个条件的最小区间长度为8,此时i = 3。
在程序计算求解区间长度时,并没有那么麻烦,我们可以直接得到i,即等于直接对区间长度取以2为底的对数。这里,对于区间[3,11],其分解的区间长度为int(log(11 - 3 + 1)) = 3,这里log是以2为底的。
根据上述思想,可以把待查询区间[x,y]分成两个小区间[x,x + 2^i - 1] 和 [y - 2^i + 1,y] ,其又分别对应着F[x,i]和F[y - 2^i + 1,i],此时为了求解整个区间的最小值,我们只需求这两个值得最小值即可,此时复杂度是O(1)。
总之ST算法就是花大量代价(nlogn)预处理,然后实现O(1)查询,在处理有大量查询的题目时线段树就稍逊一筹了
POJ3264
算是一道裸的RMQ问题,只是开两个数组,分别维护区间最大值和最小值即可
代码:
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; const int maxn=50000+100; int a[maxn]; int n,q; int F1[maxn][20]; int F2[maxn][20]; void ST_table() { for(int i=1;i<=n;i++) F1[i][0]=F2[i][0]=a[i]; int nlog=(int)(log(double(n))/log(2.0));//log2(n) for(int j=1;j<=nlog;j++) { for(int i=1;i<=n;i++) { if(i+(1<<j)-1<=n) { F1[i][j]=min(F1[i][j-1],F1[i+(1<<(j-1))][j-1]); F2[i][j]=max(F2[i][j-1],F2[i+(1<<(j-1))][j-1]); } } } } int RMQ(int l,int r) { int nlog=(int)(log(double(r-l+1))/log(2.0)); //cout<<nlog<<endl; int mi=min(F1[l][nlog],F1[r-(1<<nlog)+1][nlog]); //cout<<mi<<endl; int ma=max(F2[l][nlog],F2[r-(1<<nlog)+1][nlog]); //cout<<ma<<endl; return ma-mi; } int main() { int l,r; while(scanf("%d%d",&n,&q)!=EOF) { for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); ST_table(); while(q--) { scanf("%d%d",&l,&r); printf("%d ",RMQ(l,r)); } } }
hdu5443 裸的查询区间最大值的题目
代码:
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; const int maxn=1010; int a[maxn]; int f[maxn][15]; int n; void ST_table() { for(int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=a[i]; int nlog=(int)(log(double(n))/log(2.0)); for(int j=1;j<=nlog;j++) { for(int i=1;i<=n;i++) { if(i+(1<<j)-1<=n) { f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]); } } } } int RMQ(int l,int r) { int nlog=(int)(log(double(r-l+1))/log(2.0)); return max(f[l][nlog],f[r-(1<<nlog)+1][nlog]); } int main() { int T; int l,r; scanf("%d",&T); while(T--) { scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); ST_table(); int q; scanf("%d",&q); while(q--) { scanf("%d%d",&l,&r); printf("%d ",RMQ(l,r)); } } }
hdu5289 让你统计区间差值(最大值-最小值)小于k的 区间有多少个
刚开始暴力做,枚举区间,查询的次数是O(n^2)级别,果断TLE,后来发现
自己忽略了一个很重要的区间差值的性质,对于一个区间,如果查询起点i,确定,
那么随着区间右端点不断增大,RMQ(i,r)是递增的,因此可以用二分查找的方法来
确定区间的长度,累加得答案,查询次数就变成了O(n*logn),就可以过了
代码:
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100000+100;
ll a[maxn];
ll f1[maxn][20];
ll f2[maxn][20];
int n;
void ST_table()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
f1[i][0]=f2[i][0]=a[i];
int nlog=(int)(log(double(n))/log(2.0));
for(int j=1;j<=nlog;j++)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(i+(1<<j)-1<=n)
{
f1[i][j]=max(f1[i][j-1],f1[i+(1<<(j-1))][j-1]);
f2[i][j]=min(f2[i][j-1],f2[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
}
}
}
int RMQ(int l,int r)
{
int nlog=(int)(log(double(r-l+1))/log(2.0));
int ma=max(f1[l][nlog],f1[r-(1<<nlog)+1][nlog]);
int mi=min(f2[l][nlog],f2[r-(1<<nlog)+1][nlog]);
return ma-mi;
}
int main()
{
int T,k;
int l,r;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&a[i]);
ST_table();
ll ans=