2018届成都市二诊数学(文)21题第二问的另类证法(切线放缩法)

题(2)当(xin (1,+infty))时，求证：(dfrac{ ext{e}(x-1)}{ ext{e}^x}<ln x<x^2-x).

(ding{192})函数(y=dfrac{ln x}{x})在(x=1)处切线放缩(Rightarrow dfrac{ln x}{x}leqslant x-1)

(Rightarrow ln x<x^2-x)(其中(x>1))

(ding{193})函数(y=x ln x)在(x=1)处切线放缩(Rightarrow xln xgeqslant x-1)

(Rightarrow ln x>dfrac{x-1}{x}>dfrac{ ext{e}(x-1)}{ ext{e}^x})(其中(x>1))

其中函数(y= ext{e}^x)在(x=1)处切线放缩(Rightarrow ext{e}^xgeqslant ext{e}xRightarrow) 当(x>1)时( ext{e}^x> ext{e}x)

其中左端还可以直接使用：函数(y=dfrac{ ext{e}^x ln x}{ ext{e}})在(x=1)处切线放缩$ Rightarrow dfrac{ ext{e}^x ln x}{ ext{e}} geqslant x-1(x>1) $