2017年高考全国卷3理科数学21题(1)的做法探究 已知函数$f(x)=x-1-aln x$ (1)若$f(x)geqslant 0$,求$a$的值$.$ 魏刚 2017年6月8日於狮子山上 我的解法1:评卷老师会给满分吗?(道理看之前的内容) (f(x)geqslant 0=f(1)Rightarrow x=1)是(f(x))的极值点 (Rightarrow f'(1)=0Rightarrow a=1)(这仅仅是必要条件,还需要验证,此处略去) 我的解法2:切线放缩法 易证(ln xleqslant x-1)(证明略) ((1))当(aleqslant 0)时,$aln xgeqslant a(x-1)Rightarrow x-1geqslant a(x-1)Rightarrowleft{ egin{array}{ll} x>1 aleqslant 1 end{array} ight.(且)left{ egin{array}{ll} 0<x<1 ageqslant 1 end{array} ight.Rightarrow a=1(与)aleqslant 0$矛盾,此时无解; ((2))当(a> 0)时,(aln xleqslant a(x-1)) $1^circ x-1leqslant a(x-1)Rightarrowleft{ egin{array}{ll} x>1 ageqslant 1 end{array} ight.(且)left{ egin{array}{ll} 0<x<1 aleqslant 1 end{array} ight.Rightarrow a=1$; $2^circ x-1geqslant a(x-1)Rightarrowleft{ egin{array}{ll} x>1 aleqslant 1 end{array} ight.(且)left{ egin{array}{ll} 0<x<1 ageqslant 1 end{array} ight.Rightarrow a=1$; 综上可知,(a=1.) 我的解法3:一定不妥的解法,估计学生会这样做!(与解法1结合就是满分!道理自己想!) 先猜(a=1) 接着证(ln xleqslant x-1) 证明:令(g(x)=x-1-ln xRightarrow g'(x)=1-dfrac{1}{x}=dfrac{x-1}{x}Rightarrow g(x))在((0),(1))上单调递减,在((1),(+infty))上单调递增,(g(x)geqslant 0Rightarrow ln xleqslant x-1.) 这种方法逻辑上存在问题,虽然答案正确(.) 我的解法4:有点超纲,用到洛必达法则! (f(x)geqslant 0Rightarrow x-1geqslant aln x) 构造函数(g(x)=dfrac{x-1}{ln x}Rightarrow g'(x)=dfrac{ln x-1-frac{1}{x}}{ln^2 x}=dfrac{h(x)}{ln^2 x}) (Rightarrow h'(x)=x-dfrac{1}{x^2}=dfrac{x-1}{x^2}Rightarrow h(x))在((0),(1))上单调递减,在((1),(+infty))上单调递增, (Rightarrow h(x)geqslant 0Rightarrow g'(x)geqslant 0Rightarrow g(x))在((0),(1))上单调递增,在((1),(+infty))上单调递增, 而且(limlimits_{x o 1 }dfrac{x-1}{ln x}=limlimits_{x o 1 }dfrac{1}{frac{1}{x}}=1) 当(x>1)时,(aleqslant dfrac{x-1}{ln x} o 1(x o 1)); 当(0<x<1)时,(ageqslant dfrac{x-1}{ln x} o 1(x o 1)); 综上可知,(a=1.) 方法四:看参考答案 每周看看我,冲进985!【魏刚的作品,转载须声明】