超几何分布和二项分布的区分

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二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．

引例　袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：

（1）有放回抽样时，取到黑球的个数(X)的分布列；

（2）不放回抽样时，取到黑球的个数(Y)的分布列．

解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数(X)可能的取值为0，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为(cfrac{2}{10}=cfrac{1}{5})，3次取球可以看成3次独立重复试验，

故随机变量服从二项分布(Xsim Bleft(3，cfrac{1}{5} ight))

则(P(X=0)=C_3^0(cfrac{1}{5})^0(cfrac{4}{5})^3=cfrac{64}{125})；(hspace{2cm}) (P(X=1)=C_3^1(cfrac{1}{5})^1(cfrac{4}{5})^2=cfrac{48}{125})；

(P(X=2)=C_3^2(cfrac{1}{5})^2(cfrac{4}{5})^1=cfrac{12}{125})；(hspace{2cm}) (P(X=3)=C_3^3(cfrac{1}{5})^3(cfrac{4}{5})^0=cfrac{1}{125})

则随机变量(X)的分布列为

(X)	0	1	2	3
(P)	(cfrac{64}{125})	(cfrac{48}{125})	(cfrac{12}{125})	(cfrac{1}{125})

（2）不放回抽样时，取到的黑球数(Y)可能的取值为0，1，2．且有(Ysim Hleft(10，3，2 ight)) (hspace{2cm}) (Ysim Hleft(N，n，M ight))

(P(Y=0)=cfrac{C_2^0C_8^3}{C_{10}^3}=cfrac{7}{15})；(hspace{2cm})(P(Y=1)=cfrac{C_2^1C_8^2}{C_{10}^3}=cfrac{7}{15})；
(P(Y=2)=cfrac{C_2^2C_8^1}{C_{10}^3}=cfrac{1}{15})；

则随机变量(Y)的分布列为

(Y)	0	1	2
(P)	(cfrac{7}{15})	(cfrac{7}{15})	(cfrac{1}{15})

【辨析】通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．

【小结】超几何分布和二项分布

超几何分布的特征：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体的个数(X)的概率分布；④主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型。

二项分布的特征：①每次试验中，事件发生的概率是相同的；②各次试验中的事件是相互独立的；③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；④随机变量是这(n)次独立重复试验中事件发生的次数。

区别：①超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；超几何分布是不放回抽取，而二项分布是有放回抽取（独立重复）；②由解题的实际经验可得，题目中给定了概率的，基于概率计算的往往是二项分布；题目中给定了数字，基于数字计算概率的往往是超几何分布。

联系： 超几何分布和二项分布都是离散型分布，当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.........