绵阳市14级“二诊”16题的一个结论

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已知抛物线(C)：(y^2=4x)，焦点为(F)，过点(P(-1,0))作斜率为(k(k>0))的直线(l)与抛物线(C)交于(A,B)两点，(AF,BF)分别交抛物线(C)于(M,N)两点，若(dfrac{AF}{FM}+dfrac{BF}{FN}=18)，则(k=underline{qquadlacktriangleqquad}.)

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看出什么结论了吗？

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该结论的证明详见圆锥曲线的108条二手结论。

易得，(dfrac{NF}{BF}+dfrac{BF}{NF}=18Rightarrowdfrac{BF}{NF}=9+4sqrt{5})，

其中(|BF|=|FP|+|BF|cos heta,|NF|=|FP|-|NF|cos heta)，其中( heta)为直线(BF)的倾斜角，

(Rightarrowdfrac{BF}{NF}=9+4sqrt{5}=dfrac{1+cos heta}{1-cos heta}Rightarrowcos heta=dfrac{2sqrt{5}}{5})

也就易得，(k=dfrac{sqrt{5}}{5}.)

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