高考数学九大超纲内容(1)wffc

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我校2016$ hicksim$2017学年度(上期)半期高三(理科)考试第12题

已知奇函数(f(x))的定义域是((-1,0)igcuphspace{0.05cm}(0,1))，(f(dfrac{1}{2})=0)，

当(x>0)时，总有(f'(x)cos x>2f(x)sin x)成立(其中(f'(x))

为函数(f(x))的导函数)， 则不等式(f(log_2 x)>0)的解集为(underline{qquadlacktriangleqquad}.)

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【大致思路】关键的环节是构造符合(f'(x)cos x>2f(x)sin x)

的函数，如何构造呢？那么请出我们的九大金刚之“常微分方程”，

鉴于太超纲了，因此我们也不用搞清楚它的道理，只需要牢牢掌握

套路就行了。好，现在来看这种套路的过程：

(f'(x)cos x>2f(x)sin xRightarrow f'(x)cos x=2f(x)sin x)(“不等”变“等”)

(Rightarrow dfrac{f'(x)}{f(x)}=dfrac{2sin x}{cos x})("参变"分离)

(Rightarrow ln f(x)=-2lncos x)(两边积分)这步最关键

(Rightarrow ln f(x)=lndfrac{1}{cos^2 x})(“两脚穿鞋”)

(Rightarrow f(x)=dfrac{1}{cos^2 x})(“赤脚上阵”)

(Rightarrow cos^2 x f(x)=1)(变量归“一”)

(Rightarrow)构造函数(h(x)=cos^2 x f(x))

验证：((cos^2 x f(x))'=cos^2xf'(x)-2cos xsin xf(x)=cos x[cos xf'(x)-2sin xf(x)])

(Rightarrow (cos^2 x f(x))'>0Rightarrow)当(x>0,h(x))单调递增

(Rightarrow)当(x>0,h(log_2x)=cos^2(log_2x)f(log_2x)>0=cos^2(frac{1}{2})f(frac{1}{2})=h(frac{1}{2}))，后面略(.)

哈哈！搞定！

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同事余登超老师提供如下构造法：

(Rightarrow f'(x)cos x-f(x)sin x>f(x)sin x)

令(F(x)=f(x)cos xRightarrow F'(x)>f(x)sin xRightarrow F'(x)>F(x)dfrac{sin x}{cos x})

(Rightarrow F'(x)cos x-F(x)sin x>0Rightarrow (F(x)cos x)'>0Rightarrow (f(x)cos^2x)'>0)

哈哈！也搞定！

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【练习1】已知函数(f(x))的定义域为((0,+infty))，且满足(f'(x)>(1+dfrac{1}{x})f(x))和(f(1)=1)，则不等式

(f(x)<x ext{e}^{x-1})的解集为(underline{qquadlacktriangleqquad}.)

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【练习2】已知函数(f(x))的定义域为((0,+infty))，且满足(xf'(x)-2f(x)=x^3ln x)和(f( ext{e})= ext{e}^2)，则函数(f(x))

在((0,+infty))上(underline{qquadlacktriangleqquad})

A.有极大值，无极小值

B.有极小值，无极大值

C.既有极大值，又有极小值

D.既无极大值，又无极小值

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【练习3】已知函数(f(x))的定义域为((-infty,+infty))，且满足(f(1+x)+f(1-x)=0)和(f(2)=0)，

当(x>1)时，(f'(x)+f(x)>0)，则不等式(f(x)ln |x-1|<0)的解集为(underline{qquadlacktriangleqquad}.)

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