2020届成都二诊理科12题

已知函数$f(x)=frac{ln x}{x},g(x)=x ext{e}^{-x}.$

若存在$x_1in (0,+infty),x_2in extbf{R},;$使得$f(x_1)=g(x_2)=k(k<0)$成立$,;;$

则$(frac{x_2}{x_1})^2 ext{e}^k$的取值范围是$underline{qquadqquad}.$

该题可以化归为：(frac{ln x_1}{x_1}=x_2 ext{e}^{-x_2}=k(k<0))

(Rightarrow frac{lnfrac{1}{ x_1}}{x_1}=-x_2 ext{e}^{-x_2}=-k(k<0))

(Rightarrow ln(lnfrac{1}{ x_1})+ln(frac{1}{x_1})=ln(-x_2)+ (-x_2)=ln(-k)(k<0))

构造函数(f(x)=ln(x)+x)，

(Rightarrow lnfrac{1}{ x_1}=-x_2 Rightarrow ln x_1=x_2)

(Rightarrow (frac{x_2}{ x_1})^2 ext{e}^k=(frac{ln x_1}{ x_1})^2 ext{e}^{frac{ln x_1}{ x_1}})

构造函数(y=x^2 ext{e}^x)，其余略。