算法学习之旅——树状数组

入坑一年了，现在才开始学树状数组 ORZ ORZ ORZ

树状数组最基本的应用场景：

Problem Description
C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。
中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样，所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说："我知错了。。。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的.
Input
第一行一个整数T，表示有T组数据。
每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。
接下来每行有一条命令，命令有4种形式：
(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30）
(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）;
(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数;
(4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现;
每组数据最多有40000条命令
Output
对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车,
对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。

如果直接模拟，每次修改O(1)，查询O(n)，1e5的数据肯定会T。

如果用差分数组，每次修改O(n)，查询O(1),也会T。

所以就需要一种性能更优的算法——树状数组，当然线段树也是可以的

AC代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn=50005;
int tree[maxn];//tree[i]代表(i-lowbit(i),i]区间内的和

inline int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}
inline void update(int i,int x){//单点修改
    for(int pos=i;pos<maxn;pos+=lowbit(pos))
        tree[pos]+=x;
}
inline query(int n){//求前n项和
    int ans=0;
    for(int pos=n;pos>0;pos-=lowbit(pos))
        ans+=tree[pos];
    return ans;
}
inline query(int a,int b){
    return query(b)-query(a-1);
}
int main(){
    int t,n,a,b;
    cin>>t;
    for(int j=1;j<=t;j++){
        cout<<"Case "<<j<<":"<<endl;
        memset(tree,0,sizeof(tree));
        cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int x;
            cin>>x;
            update(i,x);
        }
        string op;
        while(cin>>op){
            if(op=="End") break;
            if(op=="Query"){
                cin>>a>>b;
                cout<<query(a,b)<<endl;
            }
            if(op=="Add"){
                cin>>a>>b;
                update(a,b);
            }
            if(op=="Sub"){
                cin>>a>>b;
                update(a,-b);
            }
        }
    }
}

（洛谷P1908）逆序对

题目描述
猫猫TOM和小老鼠JERRY最近又较量上了，但是毕竟都是成年人，他们已经不喜欢再玩那种你追我赶的游戏，现在他们喜欢玩统计。最近，TOM老猫查阅到一个人类称之为“逆序对”的东西，这东西是这样定义的：对于给定的一段正整数序列，逆序对就是序列中ai>aj且i<j的有序对。知道这概念后，他们就比赛谁先算出给定的一段正整数序列中逆序对的数目。
输入格式
第一行，一个数n，表示序列中有n个数。
第二行n个数，表示给定的序列。序列中每个数字不超过10^9
输出格式
给定序列中逆序对的数目。

解法

先将数组离散化（也是第一次用ORZ）

然后求从后往前遍历，记录已经出现的小于ai的个数

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=500005;
int tree[maxn];
inline int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}
inline void update(int i,int x){
    for(int pos=i;pos<maxn;pos+=lowbit(pos))
        tree[pos]+=x;
}
inline int query(int n){
    int ans=0;
    for(int pos=n;pos>0;pos-=lowbit(pos))
        ans+=tree[pos];
    return ans;
}
inline int query(int a,int b){
    return query(b)-query(a-1);
}
struct node{
    int value,id;
    bool operator < (const node a){
        if(value==a.value)
            return id<a.id;
        else
            return value<a.value;
    }
};
int a[maxn];//离散化后的数组
node b[maxn];
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>b[i].value;
        b[i].id=i;
    }
    sort(b+1,b+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[b[i].id]=i;
    ll ans=0;
    for(int i=n;i>0;i--){
        ans+=query(a[i]);
        update(a[i],1);
    }
    cout<<ans<<endl;
}