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例 1 设a > 1,证明：lim_n→∞ √nα- = 1.

证：令 n√--
a = 1 + y_n,y_n > 0(n=1,2,3,...),应用二项式定理，

a = (1 + yn)n = 1 + nyn + ...+ ynn > 1 + yn

, 便得到

|√ -- | a- 1 | n a- 1| = |yn| <----- n

于是对于任意给定的ϵ > 0,取N = [ a-1
ϵ ],当n > N时，成立

|√ -- | a- 1 | n a- 1| <-----< ϵ n

因此lim_n→∞ √na-- = 1

例 2 证明：

lim n√n-= 1 n→ ∞

证明：令 √--
nn = 1 + y_n,y_n > 0(n = 1,2,3,...),应用二项式定理得

n = (1 + yn)n = 1 + nyn + n-(n---1)y2 + ...+ yn> 1 + n(n---1)y2 2 n n 2 n

即得到

∘ -- |√-- | 2 | nn - 1| = |yn| < n

于是，对于任意给定的ϵ > 0,取N = [ -2
ϵ2 ],

当n > N成立时，成立

∘ -- || n√- || 2- n - 1 < n < ϵ

因此lim_n→∞ √nn-- = 1

∥∥a b∥∥ ∥∥ ∥∥ ∥c d∥

定理 0.1 If there are two or more ways to someone will do it.