动态规划法
经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。
为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。
【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列
问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：
（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；
（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；
（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。
这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。
求解：
引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。
问题的递归式写成：
回溯输出最长公共子序列过程：
算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。
1 #include <iostream> 2 #include <string> 3 using namespace std; 4 int main(int argc, char **argv) 5 { 6 string str1 = "ABCBDAB"; 7 string str2 = "BDCABA"; 8 9 int x_len = str1.length(); 10 int y_len = str2.length(); 11 12 int arr[50][50] = {{0,0}}; 13 14 int i = 0; 15 int j = 0; 16 17 for(i = 1; i <= x_len; i++) 18 { 19 for(j = 1; j <= y_len; j++) 20 { 21 if(str1[i - 1] == str2[j - 1]) 22 { 23 arr[i][j] = arr[i - 1][j - 1] + 1; 24 } 25 else 26 { 27 28 if(arr[i][j - 1] >= arr[i - 1][j]) 29 { 30 arr[i][j] = arr[i][j - 1]; 31 } 32 else 33 { 34 arr[i][j] = arr[i -1][j]; 35 } 36 } 37 38 } 39 } 40 41 for(i = 0 ; i <= x_len; i++) 42 { 43 for( j = 0; j <= y_len; j++) 44 { 45 cout << arr[i][j] << " "; 46 } 47 cout << endl; 48 } 49 for(i = x_len, j = y_len; i >= 1 && j >= 1;) 50 { 51 if(str1[i - 1] == str2[j - 1]) 52 { 53 cout << str1[i - 1] << " ";//倒序打印的 54 i--; 55 j--; 56 } 57 else 58 { 59 // if(arr[i][j -1] >= arr[i - 1][j])//打印：B A D B 60 if(arr[i][j -1] > arr[i - 1][j]) //打印:A B C B 61 { 62 j--; 63 } 64 else 65 { 66 i--; 67 } 68 } 69 } 70 cout << endl; 71 return 0; 72 }
（http://blog.chinaunix.net/uid-26548237-id-3374211.html）
运行结果如下所示。
