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秩亏自由网平差

在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差。

在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，误差方程为

（8-2-1）

式中系数阵为列满秩矩阵，其秩为。在最小二乘准则下得到的法方程为

（8-2-2）

由于其系数阵的秩为，所以为满秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利逆，因此具有唯一解，即

（8-2-3）

当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为u，误差方程为

（8-2-4）

式中

为必要的起算数据个数。尽管增加了个参数，但的秩仍为必要观测个数，即

其中为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为。

组成法方程

（8-2-5）

式中，且，所以也为秩亏阵，秩亏数为：

（8-2-6）

由上式知，不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要的起算数据的个数。即有：

在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得的唯一解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。为求得唯一解，还必须增加新的约束条件，来达到求唯一解的目的。秩亏自由网平差就是在满足最小二乘和最小范数的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法。

下面将推导自由网平差常用两种解法的有关计算公式。

一、直接解法

根据广义逆理论，相容方程组虽然具有无穷多组解，但它有唯一的最小范数解，即：

（8-2-7）

式中，称为矩阵的最小范数g逆。称为矩阵的g逆。代入（8-2-7）式得

（8-2-8）

上式就是根据广义逆理论直接求解参数的唯一最小范数解的公式。由于广义逆计算较为复杂，下面将公式做进一步改化：

令

（8-2-9）

（8-2-10）

式中行满秩，即，于是有

（8-2-11）

而，所以为满秩方阵，按照降阶法求矩阵广义逆的方法，即：如果有矩阵

其中存在凯利逆，则有的g逆

（8-2-12）

根据上式可得

（8-2-13）

代入（8-2-8）式，得

（8-2-14）

或写成

（8-2-15）

未知参数的协因数阵为：

（8-2-16）

二、附加条件法（伪观测值法）

前面已提及，秩亏自由网平差就是在满足最小二乘和最小范数的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法，实际上就是求相容方程组的最小范数解。附加条件法的基本思想：由于网中没有起算数据，平差时多选了d个未知参数，因此在u个参数之间必定满足d个附加条件式，即在原平差函数模型中需要加入d个未知参数间的限制条件方程，从而可以按附有条件的间接平差法求解。问题的关键是如何导出等价于的限制条件方程的具体形式。