分数阶微分在图像处理中的应用

图像处理：去噪、增强、重构、分割、复原、提取特征。

图像去噪：空间域去噪方法和变换域去噪方法。空间域去噪方法是直接对图像的像素进行处理，eg:均值滤波、中值滤波和偏微分方程滤波方法；变换域去噪方法主要是利用有信号和噪声信号在变换域中表现的不填特征来有效的去除噪声，eg:傅里叶变换、小波变换滤波方法等等。

偏微分方程图像的去噪方法

偏微分方程（Partial Differential Equations）图像处理一般是采用某一能量泛函，通过变分，得到欧拉—拉格朗日方程，并用梯度下降法求得到相应的解。

　　初次出现的PDE滤波模型是线性的热扩散方程，该模型的扩散行为是朝四周各个方向的，不可避免地会破坏图像的边缘等特色。为了克服这种缺陷，许多研究者从各种角度提出各种方法来避免这种“同向扩散（ lsotropic Diffusion )”行为，于是就诞生了各种整数阶PDE滤波模型，如P-M模型，ROF模型等等。

分数阶偏微分方程图像处理的优点

　　从数学性质上讲,对纹理结构的本身特性而言,纹理是具有弱导数(即分数阶导数)特性的信息,整数阶微分算子并不适合于处理这类具有弱导数的信息。

　　分数阶微分算子在加强信号中高频成分的同时，对信号的低频分量进行了非线性保留。所以，分数阶微分可以大幅提升高频成分，增强中频成分，非线性保留低频成分。所以采用分数阶微分进行图像去噪时，不仅能够较好地保持图像边缘特征，还能较好地保留图像平滑区域内灰度变化不大的纹理细节信息。

分数阶导数的定义

　　分数阶微积分的定义主要分为空域中的定义和频域中的定义两大类，空域中的定义主要包括Grumwald-Letnikov定义、Riemann-Liouville定义和Caputo定义,频域中的定义主要包括在Fourier变换域、LaPlace变换域中的定义形式。

Grünwald-Letnikov分数阶微积分

整数阶高阶导数：

$frac{mathrm{d}^{n}}{mathrm{d} t^{n}} f(t)=lim _{h ightarrow 0} frac{1}{h^{n}} sum_{j=1}^{n}(-1)^{j}left(egin{array}{l} n \ j end{array} ight) f(t-j h)$

其中二项式展开式可以写成

$(1-z)^{n}=sum_{j=0}^{n}(-1)^{j}left(egin{array}{l} n \ j end{array} ight) z^{j}=sum_{j=0}^{n} frac{(-1)^{j} n !}{j !(n-j) !} z^{j}$

二项式系数可以由下式计算

$(-1)^{j}left(egin{array}{l} n \ j end{array} ight)=(-1)^{j} frac{n !}{j !(n-j) !}$

分数阶微分定义：给定函数 $f(t)$ 的 $alpha$ 阶导数的Grünwald-Letnikov定义为

$underset{t_{0}}{^{GL}} mathscr{D}_{t}^{alpha} f(t)=lim _{h ightarrow 0} frac{1}{h^{alpha}} sum_{j=0}^{left[left(t-t_{0} ight) / h ight]}(-1)^{j}left(egin{array}{l} alpha \ j end{array} ight) f(t-j h)$

其中 $(-1)^{j}left(egin{array}{l} alpha \ j end{array} ight)=frac{(-1)^{j} Gamma(alpha+1)}{Gamma(j+1) Gamma(alpha-j+1)}$ 。 $[cdot]$ 表示取最接近的整数。

说明：

（1）算子左上角的GL记号表示Grünwald-Letnikov定义，没有冲突时可略去；

（2）可以看出整数阶微分只使用当前和几个有限步长内的函数值，而分数阶微分涉及从 $t_{0}$ 开始的所有函数值，可以认为分数阶导数是有记忆的；

（3）该定义同样适用于 $alpha>0$ 和 $alpha<0$ 的微分与积分，另外，若 $alpha=0$ ，由定义可见 $underset{t_{0}}{^{GL}} mathscr{D}_{t}^{alpha}f(t)=f(t)$ ；

（4）该定义满足统一的分数阶微积分算子定义。

数值计算

一、直接计算方法

步骤：

（1）计算出给定函数 $f(t)$ 在各个时刻的样本点并构造向量 $oldsymbol{f}$ ；

（2）根据 $w_{j}=(-1)^{j}left(egin{array}{l} alpha \ j end{array} ight)=frac{(-1)^{j} Gamma(alpha+1)}{Gamma(j+1) Gamma(alpha-j+1)}$ 计算二项式系数；

（3）根据 $underset{t_{0}}{^{GL}} mathscr{D}_{t}^{alpha} f(t)=lim _{h ightarrow 0} frac{1}{h^{alpha}} sum_{j=0}^{left[left(t-t_{0} ight) / h ight]}(-1)^{j}left(egin{array}{l} alpha \ j end{array} ight) f(t-j h)$ 直接计算分数阶导数。

二、Grünwald-Letnikov分数阶导数与积分

定理1：如果选择的计算步长 $h$ 足够小，则 $underset{t_{0}}{^{GL}} mathscr{D}_{t}^{alpha} f(t)=lim _{h ightarrow 0} frac{1}{h^{alpha}} sum_{j=0}^{left[left(t-t_{0} ight) / h ight]}(-1)^{j}left(egin{array}{l} alpha \ j end{array} ight) f(t-j h)$ 中的求极限操作可以忽略，这样，Grünwald-Letnikov定义下的分数阶导数与积分可以由下面的式子直接计算：

$underset{t_{0}}{^{GL}} mathscr{D}_{t}^{alpha} f(t) approx frac{1}{h^{alpha}} sum_{j=0}^{left[left(t-t_{0} ight) / h ight]} w_{j} f(t-j h)$

式中， $w_{j}$ 为二项式 $(1-z)^{alpha}$ 的系数，该系数还可以通过下式递推求出：

$w_{0}=1, quad w_{j}=left(1-frac{alpha+1}{j} ight) w_{j-1}, quad j=1,2, cdots$

步骤：

（1）计算给定信号在各个时刻的函数值，构造向量 $oldsymbol{f}$ ；

（2）由 $w_{0}=1, quad w_{j}=left(1-frac{alpha+1}{j} ight) w_{j-1}, quad j=1,2, cdots$ 递推计算二项式系数 $w_{j}$ ；

（3）由 $underset{t_{0}}{^{GL}} mathscr{D}_{t}^{alpha} f(t) approx frac{1}{h^{alpha}} sum_{j=0}^{left[left(t-t_{0} ight) / h ight]} w_{j} f(t-j h)$ 计算给定函数的分数阶微分或积分的值。