九度 1552 座位问题(递推DP)

计算机学院的男生和女生共n个人要坐成一排玩游戏，因为计算机的女生都非常害羞，男生又很主动，所以活动的组织者要求在任何时候，一个女生的左边或者右边至少有一个女生，即每个女生均不会只与男生相邻。现在活动的组织者想知道，共有多少种可选的座位方案。

例如当n为4时，共有
女女女女, 女女女男, 男女女女, 女女男男, 男女女男, 男男女女, 男男男男
7种。

思路

1. 读完题, 感觉这是道 DP 题

2. 前几天做了一道统计括号数的题目, 和此题比较类似

3. dp[i][j] 表示前 i 个人中有 j 个女生的方案数, 那么状态转移方程就能写为

dp[i][j] = dp[i-1][j] (最后一位放男生) + dp[i-2][j-2] (最后一位放女生, 那么倒数第二位必须是女生)

4. 初始化 dp[i][0] = 1, dp[i][1] = 0. 但要考虑例外, dp[4][3] = dp[3][3] + dp[2][1], 这种情况下 dp[2][1] 应该取 1

5. 从 1 写到 5, 这个思路都 work, 不过仍是 WA 到死

update 2014年3月10日12:42:13

上面的状态转移方程是错误的.

在 (4) 中, 谈到了例外, 然而这个例外并不是唯一的. 当 n = 6 时, 求解 dp[6][5] = dp[5][5] + dp[4][3]

其中 dp[5][5] = 1, 而 dp[4][3] 是 2, 分别为 FFFM, MFFF.

但是, 少算了一个, FFMF, 因为已经确定了最后两位是 FF

dp[i][j] 表示在第 i 个位置放置男生(j = 0) 或女生(i = 0) 的方案数

那么 dp[i][0] = dp[i-1][0] + dp[i-1][1]

难点是求解 dp[i][1], dp[i][1] = dp[k][0] k = [0, i-2] 意思是第 i 个位置放女士, 那么第 i-1 个位置上也肯定是女生, 那么我们就枚举最后一个男生出现的位置

dp[k][0] 表示第 k 个位置上是男生的方案数, 同时也表示第 k 个位置上是男生且 k+1 -> i 位置上都是女生的方案数

可以用单调队列记录前 i-2 个位置上放男生的方案数, 这样, 时间复杂度下降到了 o(n)

代码

#include <iostream>
#include <memory.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;

const int NO_DEFINE = 0x80808080;
int solution[1001][3];

int n;


void init() {
    memset(solution, 0x80, sizeof(solution));
    solution[1][0] = 1;
    solution[1][1] = 0;
    solution[1][2] = 1;
    solution[2][0] = 1;
    solution[2][1] = 1;
    solution[2][2] = 2;
}

int getSolution(int a, int b) {
    if(solution[a][b] != NO_DEFINE)
        return solution[a][b];
    
    if(b == 0)
        return (solution[a][b] = (getSolution(a-1, 0)+ getSolution(a-1, 1))% 1000000007);
    else if(b == 1) {
        return (solution[a][b] = getSolution(a-1, 2))% 1000000007;
    }
    else {
        return (solution[a][b] = (getSolution(a-1, b)+getSolution(a-1, 0))% 1000000007);
    }
        
}
int main() {
    init();
    while(scanf("%d", &n) != EOF) {
        int res = 0;
        for(int i = 0; i <= 1; i ++) {
            res = res + getSolution(n, i);
            res = (res >= 1000000007) ?  res % 1000000007:res;
        }
        printf("%d
", res);
    }
    return 0;
}