6.2 树的定义
树是 n (n >= 0) 个结点的有限集。n=0 时称为空树。在任意一棵非空树种：（1）有且仅有一个特定的称为根的结点；（2）当 n>1 时，其余结点可分为 m (m > 0) 个互不相交的有限集，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。如下图所示：
6.3树的抽象数据类型
6.4 树的存储结构
6.5 二叉树
6.5.1 二叉树定义
二叉树是 n (n>=0) 个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根节点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。
二叉树具有五种基本形态：
- 空二叉树
- 只有一个根结点
- 根结点只有左子树
- 根结点只有右子树
- 根结点既有左子树又有右子树
6.5.2特殊二叉树
直白点说，在同一层里面左边的二叉树必须是满的。
6.6二叉树的性质
性质1.在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点（i>=1）;
性质 2.深度为k的二叉树最多有2k-1个结点；
性质3.对任何一棵二叉树T，如果其叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0 = n2 + 1；
性质4.具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n] + 1,[x]表示不大于x的最大整数；
性质5.
6.7二叉树的存储结构
·
6.8 遍历二叉树
二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。
二叉树遍历方法
-
前序遍历
若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。
前序遍历次序：ABDGHCEIF
- 中序遍历
若二叉树为空，则空操作返回，否则从根结点开始（注意并不是先访问根结点），中序遍历根结点的左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树。
中序遍历次序：GDHBAEICF
- 后序遍历
若二叉树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。
后序遍历次序：GHDBIEFCA
- 层次遍历
若二叉树为空，则空操作返回，否则从树的第一层，
层次遍历次序：ABCDEFGHI
6.11 树转化为二叉树
6.12 赫夫曼树
#01 二叉树顺序结构实现
#include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include "io.h" #include "math.h" #include "time.h" #define OK 1 #define ERROR 0 #define TRUE 1 #define FALSE 0 #define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */ #define MAX_TREE_SIZE 100 /* 二叉树的最大结点数 */ typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */ typedef int TElemType; /* 树结点的数据类型，目前暂定为整型 */ typedef TElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; /* 0号单元存储根结点 */ typedef struct { int level,order; /* 结点的层,本层序号(按满二叉树计算) */ }Position; TElemType Nil=0; /* 设整型以0为空 */ Status visit(TElemType c) { printf("%d ",c); return OK; } /* 构造空二叉树T。因为T是固定数组，不会改变，故不需要& */ Status InitBiTree(SqBiTree T) { int i; for(i=0;i<MAX_TREE_SIZE;i++) T[i]=Nil; /* 初值为空 */ return OK; } /* 按层序次序输入二叉树中结点的值(字符型或整型), 构造顺序存储的二叉树T */ Status CreateBiTree(SqBiTree T) { int i=0; printf("请按层序输入结点的值(整型)，0表示空结点，输999结束。结点数≤%d: ",MAX_TREE_SIZE); while(i<10) { T[i]=i+1; if(i!=0&&T[(i+1)/2-1]==Nil&&T[i]!=Nil) /* 此结点(不空)无双亲且不是根 */ { printf("出现无双亲的非根结点%d ",T[i]); exit(ERROR); } i++; } while(i<MAX_TREE_SIZE) { T[i]=Nil; /* 将空赋值给T的后面的结点 */ i++; } return OK; } #define ClearBiTree InitBiTree /* 在顺序存储结构中，两函数完全一样 */ /* 初始条件: 二叉树T存在 */ /* 操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则FALSE */ Status BiTreeEmpty(SqBiTree T) { if(T[0]==Nil) /* 根结点为空,则树空 */ return TRUE; else return FALSE; } /* 初始条件: 二叉树T存在。操作结果: 返回T的深度 */ int BiTreeDepth(SqBiTree T) { int i,j=-1; for(i=MAX_TREE_SIZE-1;i>=0;i--) /* 找到最后一个结点 */ if(T[i]!=Nil) break; i++; do j++; while(i>=powl(2,j));/* 计算2的j次幂。 */ return j; } /* 初始条件: 二叉树T存在 */ /* 操作结果: 当T不空,用e返回T的根,返回OK;否则返回ERROR,e无定义 */ Status Root(SqBiTree T,TElemType *e) { if(BiTreeEmpty(T)) /* T空 */ return ERROR; else { *e=T[0]; return OK; } } /* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点(的位置) */ /* 操作结果: 返回处于位置e(层,本层序号)的结点的值 */ TElemType Value(SqBiTree T,Position e) { return T[(int)powl(2,e.level-1)+e.order-2]; } /* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点(的位置) */ /* 操作结果: 给处于位置e(层,本层序号)的结点赋新值value */ Status Assign(SqBiTree T,Position e,TElemType value) { int i=(int)powl(2,e.level-1)+e.order-2; /* 将层、本层序号转为矩阵的序号 */ if(value!=Nil&&T[(i+1)/2-1]==Nil) /* 给叶子赋非空值但双亲为空 */ return ERROR; else if(value==Nil&&(T[i*2+1]!=Nil||T[i*2+2]!=Nil)) /* 给双亲赋空值但有叶子（不空） */ return ERROR; T[i]=value; return OK; } /* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */ /* 操作结果: 若e是T的非根结点,则返回它的双亲,否则返回＂空＂ */ TElemType Parent(SqBiTree T,TElemType e) { int i; if(T[0]==Nil) /* 空树 */ return Nil; for(i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++) if(T[i]==e) /* 找到e */ return T[(i+1)/2-1]; return Nil; /* 没找到e */ } /* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */ /* 操作结果: 返回e的左孩子。若e无左孩子,则返回＂空＂ */ TElemType LeftChild(SqBiTree T,TElemType e) { int i; if(T[0]==Nil) /* 空树 */ return Nil; for(i=0;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++) if(T[i]==e) /* 找到e */ return T[i*2+1]; return Nil; /* 没找到e */ } /* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */ /* 操作结果: 返回e的右孩子。若e无右孩子,则返回＂空＂ */ TElemType RightChild(SqBiTree T,TElemType e) { int i; if(T[0]==Nil) /* 空树 */ return Nil; for(i=0;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++) if(T[i]==e) /* 找到e */ return T[i*2+2]; return Nil; /* 没找到e */ } /* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */ /* 操作结果: 返回e的左兄弟。若e是T的左孩子或无左兄弟,则返回＂空＂ */ TElemType LeftSibling(SqBiTree T,TElemType e) { int i; if(T[0]==Nil) /* 空树 */ return Nil; for(i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++) if(T[i]==e&&i%2==0) /* 找到e且其序号为偶数(是右孩子) */ return T[i-1]; return Nil; /* 没找到e */ } /* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */ /* 操作结果: 返回e的右兄弟。若e是T的右孩子或无右兄弟,则返回＂空＂ */ TElemType RightSibling(SqBiTree T,TElemType e) { int i; if(T[0]==Nil) /* 空树 */ return Nil; for(i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++) if(T[i]==e&&i%2) /* 找到e且其序号为奇数(是左孩子) */ return T[i+1]; return Nil; /* 没找到e */ } /* PreOrderTraverse()调用 */ void PreTraverse(SqBiTree T,int e) { visit(T[e]); if(T[2*e+1]!=Nil) /* 左子树不空 */ PreTraverse(T,2*e+1); if(T[2*e+2]!=Nil) /* 右子树不空 */ PreTraverse(T,2*e+2); } /* 初始条件: 二叉树存在 */ /* 操作结果: 先序遍历T。 */ Status PreOrderTraverse(SqBiTree T) { if(!BiTreeEmpty(T)) /* 树不空 */ PreTraverse(T,0); printf(" "); return OK; } /* InOrderTraverse()调用 */ void InTraverse(SqBiTree T,int e) { if(T[2*e+1]!=Nil) /* 左子树不空 */ InTraverse(T,2*e+1); visit(T[e]); if(T[2*e+2]!=Nil) /* 右子树不空 */ InTraverse(T,2*e+2); } /* 初始条件: 二叉树存在 */ /* 操作结果: 中序遍历T。 */ Status InOrderTraverse(SqBiTree T) { if(!BiTreeEmpty(T)) /* 树不空 */ InTraverse(T,0); printf(" "); return OK; } /* PostOrderTraverse()调用 */ void PostTraverse(SqBiTree T,int e) { if(T[2*e+1]!=Nil) /* 左子树不空 */ PostTraverse(T,2*e+1); if(T[2*e+2]!=Nil) /* 右子树不空 */ PostTraverse(T,2*e+2); visit(T[e]); } /* 初始条件: 二叉树T存在 */ /* 操作结果: 后序遍历T。 */ Status PostOrderTraverse(SqBiTree T) { if(!BiTreeEmpty(T)) /* 树不空 */ PostTraverse(T,0); printf(" "); return OK; } /* 层序遍历二叉树 */ void LevelOrderTraverse(SqBiTree T) { int i=MAX_TREE_SIZE-1,j; while(T[i]==Nil) i--; /* 找到最后一个非空结点的序号 */ for(j=0;j<=i;j++) /* 从根结点起,按层序遍历二叉树 */ if(T[j]!=Nil) visit(T[j]); /* 只遍历非空的结点 */ printf(" "); } /* 逐层、按本层序号输出二叉树 */ void Print(SqBiTree T) { int j,k; Position p; TElemType e; for(j=1;j<=BiTreeDepth(T);j++) { printf("第%d层: ",j); for(k=1;k<=powl(2,j-1);k++) { p.level=j; p.order=k; e=Value(T,p); if(e!=Nil) printf("%d:%d ",k,e); } printf(" "); } } int main() { Status i; Position p; TElemType e; SqBiTree T; InitBiTree(T); CreateBiTree(T); printf("建立二叉树后,树空否？%d(1:是 0:否) 树的深度=%d ",BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T)); i=Root(T,&e); if(i) printf("二叉树的根为：%d ",e); else printf("树空，无根 "); printf("层序遍历二叉树: "); LevelOrderTraverse(T); printf("前序遍历二叉树: "); PreOrderTraverse(T); printf("中序遍历二叉树: "); InOrderTraverse(T); printf("后序遍历二叉树: "); PostOrderTraverse(T); printf("修改结点的层号3本层序号2。"); p.level=3; p.order=2; e=Value(T,p); printf("待修改结点的原值为%d请输入新值:50 ",e); e=50; Assign(T,p,e); printf("前序遍历二叉树: "); PreOrderTraverse(T); printf("结点%d的双亲为%d,左右孩子分别为",e,Parent(T,e)); printf("%d,%d,左右兄弟分别为",LeftChild(T,e),RightChild(T,e)); printf("%d,%d ",LeftSibling(T,e),RightSibling(T,e)); ClearBiTree(T); printf("清除二叉树后,树空否？%d(1:是 0:否) 树的深度=%d ",BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T)); i=Root(T,&e); if(i) printf("二叉树的根为：%d ",e); else printf("树空，无根 "); return 0; }
#02 二叉树链表实现
// 二叉树的实现（C语言） // 链表，递归实现 #include<stdio.h> #include<malloc.h> #include<stdlib.h> typedef char Elementtype; // 定义数据类型，可根据需要自行定制 typedef struct TreeNode * Node; // Node相当于struct treeNode * // 定义数节点结构 typedef struct TreeNode { Elementtype Element; Node left; // 树节点的左子节点 Node right; // 树节点的右子节点 }TREE,*PTREE; // 函数声明 void CreatTree(PTREE *); // 树的先序创建函数 void PreOrderTree(PTREE ); // 树的前序遍历函数 void InOrderTree(PTREE ); // 树的中序遍历 void PostOrderTree(PTREE ); // 树的后序遍历 void LeafOfTree(PTREE ); // 打印树的叶子节点函数 int Get_Leaf_Num(PTREE ); // 获取树叶子节点个数 int Get_Height(PTREE ); // 获取树的高度 // 主函数 int main() { PTREE Root; printf("请先序输入二叉树的节点数据： "); CreatTree(&Root); printf(" 前序遍历结果为："); PreOrderTree(Root); printf(" 中序遍历结果为："); InOrderTree(Root); printf(" 后序遍历结果为："); PostOrderTree(Root); printf(" 打印叶子节点为："); LeafOfTree(Root); printf(" 叶子节点个数为：%d", Get_Leaf_Num(Root)); printf(" 二叉树的高度为：%d", Get_Height(Root)); printf(" "); return 0; } // 定义树先序创建函数 void CreatTree(PTREE *Root) { char val=0; // 用于下面存放数据 val=getchar(); // 输入数据值 // 如果输入'*'，则指向为空 if (val == '*') (*Root) = NULL; // 如果输入非'*'，则给数据域赋值 else { (*Root) = (PTREE)malloc(sizeof(TREE)); // 申请内存空间 if ((*Root) == NULL) { printf("创建节点失败，无法分配可用内存..."); exit(-1); } else { (*Root)->Element = val; // 给节点数据域赋值 CreatTree(&(*Root)->left); CreatTree(&(*Root)->right); } } } // 树的前序遍历函数定义 void PreOrderTree(PTREE Root) { if (Root == NULL) return; else { putchar(Root->Element); PreOrderTree(Root->left); PreOrderTree(Root->right); } } // 树的中序遍历函数定义 void InOrderTree(PTREE Root) { if (Root == NULL) return; else { InOrderTree(Root->left); putchar(Root->Element); InOrderTree(Root->right); } } // 树的后序遍历函数定义 void PostOrderTree(PTREE Root) { if (Root==NULL) return ; else{ PostOrderTree(Root->left); PostOrderTree(Root->right); putchar( Root->Element); } } // 打印树的叶子节点函数定义 void LeafOfTree(PTREE Tree) { if (Tree == NULL) return ; else { if (Tree->left == NULL&&Tree->right == NULL) putchar(Tree->Element); else { LeafOfTree(Tree->left); LeafOfTree(Tree->right); } } } // 获取树的叶子节点个数函数定义 int Get_Leaf_Num(PTREE Tree) { if (Tree == NULL) return 0; if (Tree->left == NULL&&Tree->right == NULL) return 1; //递归整个树的叶子节点个数 = 左子树叶子节点的个数 + 右子树叶子节点的个数 return Get_Leaf_Num(Tree->left) + Get_Leaf_Num(Tree->right); } // 获取树高的函数定义 int Get_Height(PTREE Tree) { int Height = 0; if (Tree == NULL) return 0; //树的高度 = max(左子树的高度，右子树的高度) + 1 else { int L_Height = Get_Height(Tree->left); int R_Height = Get_Height(Tree->right); Height = L_Height >= R_Height ? L_Height + 1 : R_Height + 1; } return Height; }
