问题 A: 礼物
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题面
题目描述
夏川的生日就要到了。作为夏川形式上的男朋友，季堂打算给夏川买一些生 日礼物。
商店里一共有种礼物。夏川每得到一种礼物，就会获得相应喜悦值Wi（每种 礼物的喜悦值不能重复获得）。
每次，店员会按照一定的概率Pi（或者不拿出礼物），将第i种礼物拿出来。 季堂每次都会将店员拿出来的礼物买下来。没有拿出来视为什么都没有买到，也 算一次购买。
众所周知，白毛切开都是黑的。所以季堂希望最后夏川的喜悦值尽可能地高。
求夏川最后最大的喜悦值是多少，并求出使夏川得到这个喜悦值，季堂的期 望购买次数。
输入
第一行，一个整数N，表示有N种礼物。
接下来N行，每行一个实数Pi和正整数Wi，表示第i种礼物被拿出来的概率和 可以获得喜悦值。
输出
第一行，一个整数表示可以获得的最大喜悦值。
第二行，一个实数表示获得这个喜悦值的期望购买次数，保留3位小数
样例输入
3
0.1 2
0.2 5
0.3 7
样例输出
14
12.167
提示
对于10%的数据，N = 1
对于30%的数据，N ≤ 5
对于100%的数据，N ≤ 20 ，0 < Wi ≤ 10^9 ，0 < Pi ≤ 1且∑Pi ≤ 1
考试心路历程
看到概率与期望一脸懵逼，完全把概率与期望那点知识给忘干净了。
尝试硬推式子，把12.167来回除以样例输入中的数字，啥规律也没找到。。。
只好尝试去骗10%，结果没保留三位导致w0。
题解
看到数据范围N<=20，状压dp的标志性数据范围。
正着枚举不好说，我们倒着考虑如何进行状态转移（我觉得主要是为了适应lowbit操作取出末位1）
所以我们的初始状态就是f[(1<<n)-1]，答案为f[0]。
$f[i]=Sigma{p[k]*f[j]}$(j为比i多买一件物品的状态,k就是多买的那件物品)$+(1-Sigma{p[k]})$（买到已经买到的或者买到空自己转移回自己的概率）$*f[i]+1$
两边都出现了f[i]，我们移项解决。
$f[i]=(Sigma{p[k]*f[j]}+1)/(Sigma{p[k]})$
然后转移就行了。
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<queue> #include<stack> #include<cmath> #define rint register int using namespace std; int n; long long wi[21],sum; double qi[21],dp[(1<<20)+5]; inline long long lowbit(long long t){return t&(-t);} int main() { scanf("%d",&n); for(rint i=1;i<=n;++i) { scanf("%lf %lld",&qi[i],&wi[i]); sum+=wi[i]; } for(rint i=(1<<n)-2;i>=0;--i) { double sm=0.0; for(rint j=1;j<=n;++j) { if(!((1<<(j-1))&i)) { dp[i]+=qi[j]*dp[i|(1<<(j-1))]; sm+=qi[j]; } } dp[i]=(dp[i]+1)/sm; } printf("%lld %.3lf ",sum,dp[0]); }