The Sieve of Eratosthenes (素数筛选法)

问题描述

给定一个正整数 $n$，输出不超过 $n$ 的全部素数。

算法描述

1. 写出$2\cdots n$所有的数。
2. 计算出 $m=\sqrt{n}$ ，把不超过 $m$ 的所有素数的倍数（不能是素数本身）全部删除，剩下的就是 $2\cdots n$中的素数。

算法复杂度

$O(n)$

正确性证明

命题：给定一个合数x，一定存在不超过 $\sqrt{x}$ 的素数 P，且 $x \% p=0$。
证明：我们从1开始找合数，设 $x$ 为第一个不满足上述条件的合数。因为 $x$ 是一个合数，因此存在 $a$，使得 $x \% a=0$。
　　(1)$a$是合数。因为$a$小于$x$，因此$a$满足：存在不超过 $\sqrt{a}$ 的素数$b$，且 $a \% b=0$。因为 $b<\sqrt{a}<\sqrt{x}$，因此 $x \% b=0$，与假设矛盾。
　　(2)$a$是素数。因此 $a>\sqrt{x}$，因此 $x=ka$。
　　　　1)$k$是合数。则同(1)的方法。
　　　　2)$k$是素数。则 $k<\sqrt{x}$，因为假设 $k\ge \sqrt{x}$，则 $ka>x$，与假设矛盾。

算法实现

public class Prime {
    public static int sieve(int n){
        boolean[] arr = new boolean[n+1];
        for(int i=0;i<arr.length;i++)
            arr[i] = true;
        int bound = (int)Math.floor(Math.sqrt(n));    //根号n
        for(int i=2;i<=bound;i++){
            if(arr[i]){
                for(int j=2;j*i<=n;j++){
                    arr[i*j] = false;
                }
            }
        }
        int count = 0;
        for(int i=2;i<arr.length;i++){
            if(arr[i]) {
                count++;
                System.out.println(i);
            }
        }
        return count;
    }
    public static void main(String[] args) {
        sieve(100);
    }
}

孪生素数猜想

孪生素数：如果a,b是两个素数，且$a=b-2$，则称 $a$ 与 $b$ 是孪生素数。比如3与5是孪生素数。
孪生素数猜想：存在无穷多对孪生素数。
在2013年5月，张益唐证明了孪生素数猜想的弱化版本：存在无穷多对相差小于七千万的素数。