【线性同余方程】青蛙的约会

模运算：

　　取模：计算除以m的余数，叫做对m取模

　　同余：将a,b对m取模的结果相同，记为 $a x \equiv b (m o d m)$

$a x \equiv b (m o d m)$ $a x \equiv b (m o d m)$

　　 a,b是整数，形如 ax ≡ b (mod n)，且x是未知整数的同余式称为一元线性同余方程。
　　定理：同余方程 ax ≡ b (mod n) 对于未知数 x 有解，当且仅当 b 是 gcd(a,n)的倍数。否则方程无解。且方程有解时，方程有 gcd(a,n)个解。
　　这里根据取余的概念可以得出，假如 a%n = b 的话，可以写出一个等式 a = n*t +b；　
　　求解线性同余方程的方法：这里根据上面很容易得出下面两个等式：

　　　　ax = n*y₁ + 余数
　　　　b = n*y₂ + 余数

　　上面两式相减得 ax - b = n(y₁-y₂) ===> ax - b = ny ===> ax + ny = b; （这里的未知数x y不用管正负号，因为最后求解出来的结果x y自带正负号。）

　　那么根据这个等式采用扩展欧几里得算法就能够得出 x 的值。也就解出了线性同余方程。

例题：青蛙的约会

　　思路：因为线总长L，青蛙需要循环跳才有可能碰面。而循环跳的话那么它们的位置只能通过对L取余得到（可以对比钟表转圈理解）。根据题意，假设它们需要跳k次才能碰面，那么很容易得出这个同余组x+k*m ≡ y+k*n (mod L)。而根据上面的讲解我们也可以得到下面两个等式：

　　　　x + k*m = L*t₁ + 余数
　　　　y + k*n = L*t₂ + 余数

　　还是上面两式相减得到 x - y + (m-n)*k = L * t ===> (m-n)*k + L * t = y - x 这里已知的变量有 m n L y x，所以未知的变量为 k t

　　然后再对比扩展欧几里得算法求线性方程的等式 ax+by = m 所以可以得出 a = m - n，b = L，m = y - x。

　　然后根据上面写代码即可：

 1 import java.util.Scanner;
 2 
 3 // 求解同余方程的本质就是求线性方程
 4 // 将求余方程转化为线性方程
 5 public class 青蛙的约会 {
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 7     public static void main(String[] args) {
 8         Scanner scanner = new Scanner(System.in);
 9         long x = scanner.nextInt();  // 坐标
10         long y = scanner.nextInt();  // 坐标
11         long m = scanner.nextInt();  // A第一次跳
12         long n = scanner.nextInt();  // B第一次跳
13         long l = scanner.nextInt();  // 维度总长
14         
15         long a = m-n;
16         long b = l;
17         m = y-x;
18         long d = 0;
19         try {
20             d = ExtGcd.linearEquation(a, b, m);
21         } catch (Exception e) {
22             System.out.println("Impossible");
23         } // 求解线性方程
24         long x0 = ExtGcd.x;
25         b /= d;  // 约一下
26         b = Math.abs(b);  // 有可能小于0
27         /*=========这里是AC的关键===========*/
28         x0 = (x0%b+b)%b; // 要求大于0的第一个解
29         System.out.println(x0);
30     }
31     
32     // 私有的静态的内部类
33     private static class ExtGcd{
34         static long x,y;
35         
36         public static long ext_gcd(long a,long b){
37             if (b==0) {
38                 x = 1;
39                 y = 0;
40                 return a;
41             }
42             long res = ext_gcd(b, a%b);
43             long x1 = x;
44             x = y;
45             y = x1-a/b*y;
46             return res;
47         }
48         
49         public static long linearEquation(long a,long b,long m) throws Exception{
50             long d = ext_gcd(a, b);
51             if(m%d!=0) throw new Exception("无解");
52             long n = m / d;
53             x *= n;
54             y *= n;
55             return d;
56         }
57     }
58 }

　　结果：

$a x \equiv b (m o d m)$