洛谷：AT2827 LIS

题解：

1.DP（TLE）

这是一道最为经典的完全用动态规划来解决的问题。

◦ 设dp[i]为以a[i]为末尾的最长上升子序列的长度。

◦ 最后的答案就是我枚举一下最长上升子序列的结束位置，然后取一个dp[i]最大值即可。

◦ 问题是如何求这个数组？

◦ 那我们回过头来想一想最开始说的动态规划的基本思想，从小的问题推出大的问题。

◦ 假设我们知道了dp[1..(i-1)]，我们怎么才能根据这些信息推出来dp[i]。

◦ 再次强化一下定义：dp[i]表示以i结尾的最长上升子序列长度。

◦ 我们只需要枚举这个上升子序列倒数第二个数是什么就好了。

◦ 状态转移：dp[i]=max{ dp[j] | a[j]<a[i] && j<i } +1 ; （dp记录的是长度）

◦ 之前的例子：

◦ A：{2 , 5 , 3 , 4 , 1 , 7 , 6}

◦ dp[1]=1;

◦ dp[2]=max{dp[1]}+1;

◦ dp[3]=max{dp[1]}+1;

◦ dp[4]=max{dp[1],dp[3]}+1;

◦ 时间复杂度 O（n^2）。

◦ 在这个问题的分析中，突破口？

◦ 1：设计出了dp[1..n]这个可以储存以i结尾的子序列中最优的答案，这个状态表示。

◦ 2：通过分析问题成功能将当前状态的最优值能过由之前状态转移出来。dp[i]=max{ dp[j] | a[j]<a[i] && j<i } +1 ，状态转移。

>最长上升子序列核心代码

◦ 设dp[i]为以a[i]为末尾的最长上升子序列的长度。

◦ 状态转移：dp[i]=max{ dp[j] | a[j]<a[i] && j<i } +1 ;

>下面是DP玩火TLE代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<string>
#include<cstring>
#include<queue>

using namespace std;

inline int read()
{
    int ans=0;
    char last=' ',ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') last=ch,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(last=='-') ans=-ans;
    return ans;
}

const int maxn=1e5+10;
int n,ans=0;
int a[maxn],dp[maxn];

int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
       a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        dp[i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
           if(a[j]<a[i]&&dp[j]+1>dp[i])
             dp[i]=dp[j]+1;
        ans=max(ans,dp[i]);
    }
    
    printf("%d",ans);
    
    return 0;
}

2.lower_bound优化

我们可以设最长上升子序列的长度为len

d[len]表示长度为len的最长上升子序列里最后一个数

当然，边界条件为

len=1

d[len]=a[1];

从第二个枚举所给序列的所有元素

设当前为i

当a[i]比d[len]大的时候，就加入到d数组，更新len和队尾

否则，如果a[i]!=d[len]

那就找到队列中第一个大于等于a[i]的数，用a[i]替代它，因为a[i]比原来的更有潜力形成一个新的最长上升子序列

此处采用lower_bound优化，相当于一个二分查询，一次查询O(logn)

但是如果用两层DP的话大多数是会直接TLE O(n^2)

>下面是lower_bound优化AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<string>
#include<cstring>
#include<queue>

using namespace std;

inline int read()
{
    int ans=0;
    char last=' ',ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') last=ch,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(last=='-') ans=-ans;
    return ans;
}

const int maxn=1e5+10;
int n,len=0;
int a[maxn],d[maxn];

int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
       a[i]=read();
    d[++len]=a[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]>d[len]) d[++len]=a[i];
        else d[lower_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d]=a[i];  //返回一个迭代器 
    }
    
    printf("%d",len);
    
    return 0;
}