关于一些博弈算法的总结

在学习acm做题的时候，遇到了很多的关于博弈的题目，下面做个总结：

1.威佐夫博奕

（1）内容：威佐夫博弈（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

　　这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为　　奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。

　　可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k。

 

（2）性质：

 

　　1.任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。

　　证明：由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有a[k] > a[k-1] ，而 bk= a[k] + k > a[k-1] + k > a[k-1] + k - 1 = b[k-1] > a[k-1] 。所以性质1成立。

　　2.任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。

　　证明：若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由于其差　　不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。

　　3.采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。

　　假设面对的局势是（a,b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了奇异局势（0，0）；如果a = ak ，b > bk 那么，取走b - bk个物体，即变为奇异局势；如　　果 a = ak ， b < bk 则同时从两堆中拿走a-a[b-a] 个物体变为奇异局势（ a[b-a], b-a+a[b-a]）；如果a > ak ，b= ak + k 则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可；　　如果a < ak ，b= ak + k,分两种情况，第一种，a=aj （j < k）从第二堆里面拿走 b - bj 即可；第二种，a=bj （j < k）从第二堆里面拿走 b - aj 即可。

（3）结论：

　　两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。

　　那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：

　　ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...n 方括号表示取整函数)

　　奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1.618...因此，由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若　　　a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，b = aj + j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局　　势。

（4）例题

　　POJ1067

　　Description

　　有两堆石子，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定，每次有两种不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在两堆中同时取　　走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目，如果轮到你先取，假设双方都采取最好的策略，问最后你是胜者还是败者。

　　Input

　　输入包含若干行，表示若干种石子的初始情况，其中每一行包含两个非负整数a和b，表示两堆石子的数目，a和b都不大于1,000,000,000。

　　Output

　　输出对应也有若干行，每行包含一个数字1或0，如果最后你是胜者，则为1，反之，则为0。

　　Sample Input

　　2 1
　　8 4
　　4 7

　　Sample Output

　　0
　　1
　　0

　　Accept Code:　

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    int a, b, k;
    while(~scanf("%d%d", &a, &b)) {
        if(a > b)
            a ^= b ^= a ^= b;
        k = b - a;
        if(a == floor(k * (sqrt(5.0) + 1) / 2))
            printf("0
");
        else
            printf("1
");
    }
    return 0;
}

　　博弈的题目还有很多，以后遇到了再添加。