[BZOJ2005][Noi2010]能量采集

试题描述

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

输入

仅包含一行，为两个整数n和m。

输出

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

输入示例

5 4

输出示例

数据规模及约定

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

题解

这题其实不用莫比乌斯反演。。。容斥 dp 一下就好了。。。

设 f(d) 表示以 d 为最大公约数的数对有多少，那么 f(d) = [n / d] * [m / d] - f(2d) - f(3d) - ... 其中除法向下取整。

于是我们倒着做一遍 dp 就好了，复杂度为调和级数，最终答案是 ∑_1≤d≤nf(d)·(2d - 1)。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;

int read() {
	int x = 0, f = 1; char c = getchar();
	while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }
	while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
	return x * f;
}

#define maxn 100010
#define LL long long

int n, m;
LL cp[maxn];

int main() {
	n = read(); m = read();
	
	LL ans = 0;
	for(int i = min(n, m); i; i--) {
		cp[i] = (LL)(n / i) * (LL)(m / i);
		for(int j = (i << 1); j <= min(n, m); j += i) cp[i] -= cp[j];
		ans += cp[i] * ((i << 1) - 1);
	}
	
	printf("%lld
", ans);
	
	return 0;
}