欧拉函数的定义:

Φ(n)=小于n的数中与n互质的数的数目。

在写代码之前，我们先看一下，欧拉函数的一个性质

对于任意一个正整数，Φ( n ) = n * (1 - 1 / a₁) * (1 - 1 / a₂) * … * (1 - 1/a_n)。其中，a₁ a₂ … a_n 为所有 n 的质因子

欧拉函数实现代码：

 1 int func(int n)
 2 {
 3     int temp=n;
 4     for(int i=2;i*i<=n;i++)
 5     {
 6         if(n%i==0)//是否是质因数
 7         {
 8             temp=temp*(i-1)/i;
 9             while(n%i==0)
10             {
11                 n/=i;
12             }
13         }
14     }
15     if(n>1)temp=temp*(n-1)/n;//如果n!=1,n也是其中一个质因数
16     return temp;
17 }

欧拉函数扩展，求大数快速矩阵幂

题目描述：

给a,b,c三个数字，求a的b次幂对c取余。

数据范围：多组样例循环输入，每一组输入a,b,c (1<=a,c<=10^9,1<=b<=10^1000000)。

输入：

2 2 2
139123 123124121241452124412124 123121

输出：

8984

首先知道一个欧拉函数的一个性质：

a^b%p==a^{b%Φ(p)+Φ(p)}%p (证明不会，还请大佬留言)

快速矩阵幂算法代码：

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<iostream>
 3 #include<string.h>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 char b[1000100];
 7 ll func(ll n)//欧拉函数
 8 {
 9     ll temp=n;
10     for(int i=2;i*i<=n;i++)
11     {
12         if(n%i==0)//是否是质因数
13         {
14             temp=temp*(i-1)/i;
15             while(n%i==0)
16             {
17                 n/=i;
18             }
19         }
20     }
21     if(n>1)temp=temp*(n-1)/n;//如果n!=1,n也是其中一个质因数
22     return temp;
23 }
24 
25 ll POW(ll a,ll b,ll p)//快速矩阵幂
26 {
27     ll ans=1;
28     while(b!=0)
29     {
30         if(b%2!=0)
31         {
32             ans=ans*a%p;
33         }
34         b=b>>1;
35         a=a*a%p;
36     }
37     return ans;
38 }
39 
40 int main()
41 {
42     ll a,p;
43     while(cin>>a)
44     {
45         scanf("%s%lld",b,&p);
46         ll len = strlen(b);
47         ll oula = func(p);
48         int temp=0;
49         for(ll i=0; i<len; i++){ //降幂
50             temp = (temp*10+b[i]-'0')%oula;//模运算的性质
51         }
52         cout<<POW(a,temp+func(p),p)<<endl;
53     }
54 
55 }

【如有侵权，请告知，立即删除】

$a^{b} % p = a^{b % (p - 1)} % p$