ACM-Antiprime数

 

问题描述: swust打不开，随便找了个博客。。。。

对于任何正整数x,起约数的个数记做g(x).例如g(1)=1,g(6)=4.

定义：如果某个正整数x满足:对于任意i(0<i<x),都有g(i)<g(x),则称x为反素数.

现在给一个N,求出不超过N的最大的反素数.

比如:输入1000 输出 840

思维过程:

求[1..N]中最大的反素数-->求约数最多的数（约数同样多取数值小的）

简单证明：

如果X是答案，但X不是约数最多的数，假设约数最多的数是Y，那么Y>X，否则不符合反质数的定义。

那么很明显Y也是一个反质数，且Y比X大，那么答案应该是Y而不是X。

如果求约数的个数 756=2^2*3^3*7^1

(2+1)*(3+1)*(1+1)=24

基于上述结论,给出算法:按照质因数大小递增顺序搜索每一个质因子,枚举每一个质因子

为了剪枝:

性质一:一个反素数的质因子必然是从2开始连续的质数.

因为最多只需要10个素数构造:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29

性质二:p=2^t1*3^t2*5^t3*7^t4.....必然t1>=t2>=t3>=....

//// Antiprime数.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
////
//
#include "stdafx.h"

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
int prime[12] = { 0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 23 };
//相应的限制次数{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11};
//2*3*5*7*11*13*17*19*21*23>n，所以只需考虑到23即可
ll n, BestSum, BestNum;

//num表示当前数字大小、sum表示当前数字的约数个数、limit表示第k个素数的上限，k表示第k个素数
void solve(ll num, ll sum, ll limit, ll k)
{
    //cout << "=======================:      pos:" << k << "	div:" << sum << "	num:" << num << "	limit:" << limit << endl;
    if (sum>BestSum){
        BestSum = sum;
        BestNum = num;
    }
    else if (sum == BestSum&&num<BestNum){//约数个数一样时，取小数
        BestNum = num;
    }
    for (int i = 1; i <= limit; i++){//素数k取i个
        cout << "=====================================================================" << endl;
        cout << "now num:" << num << "	k:" << k << "	i:" << i << "	limit:" << limit << endl;
        cout << num << "*prime[" << k << "]=" << "="<<num <<"*"<<prime[k]<< "=" << num * prime[k] << endl;
        cout << "sum:" << sum << "	i:" << i << "	sum*(1+" << i << ")=" << sum*(1 + i) << endl;
        cout << "=====================================================================" << endl<<endl;
        num *= prime[k];
        if (num>n) return;
            solve(num, sum*(1 + i), i, k + 1);
    }
}
int main(){
    cin >> n;
    solve(1, 1, 10, 1);//每个数最多被分解成10质数的乘积
    cout << BestNum;
    return 0;
}

 下面是当n=20时，问题解的遍历图形。