本篇是专门记录斐波那契数列性质的笔记。
在本篇文章中，我们约定 (f_n) 为斐波那契数列的第 (n) 项，并且 (f_0=0)。
这些公式中，有些是证明的，有些未证明，并且是否补坑看心情。 （其实是太菜不会证
首先，利用事实 (f_n=f_{n+2}-f_{n+1}) 得到
[sumlimits_{k=1}^{n}{f_k}=sumlimits_{k=1}^{n}{(f_{k+2}-f_{k+1})}
]
这是一个叠进和，因此我们很容易得到
[sumlimits_{k = 1}^n {{f_k} = {f_{n + 2}} - {f_2} = {f_{n + 2}} - 1}
]
[f_{n+3}=2f_{n+2}-f_n=2f_{n+1}+f_n
]
[f_{2n}=f_n^2+2f_{n-1}f_n=f_{n+1}^2-f_{n-1}^2
]
[f_{2n+1}=f_{n+1}^2+f_{n}^2
]
[3f_n=f_{n-2}+f_{n+2}
]
[sumlimits_{k = 1}^n {f_k^2 = {f_n}{f_{n + 1}}}
]
[f_{n+1}f_{n-1}-f_n^2=(-1)^n
]
[f_{m+n}=f_mf_{n+1}+f_nf_{m-1}
]
[sumlimits_{k = 0}^{n - 1} {inom{n-k}{k}} = {f_{n + 1}}
]
[sumlimits_{k = 1}^n {inom{n}{k}} {f_k} = {f_{2n}}
]
递归定义广义斐波那契数列如下：(g_1=a)，(g_2=b)，(g_n=g_{n-1}+g_{n-2}(ngeqslant3))，则有
[g_n=af_{n-2}+bf_{n-1}
]
to be continued……