素数的若干求解方法

1）直观判断法

最直观的方法，根据定义，因为质数除了1和本身之外没有其他约数，所以判断n是否为质数，根据定义直接判断从2到n-1是否存在n的约数即可。C++代码如下：

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1. bool isPrime_1( int num )  
2. {  
3.     int tmp =num- 1;  
4.     for(int i= 2;i <=tmp; i++)  
5.       if(num %i== 0)  
6.          return 0 ;  
7.     return 1 ;  
8. }  

2）直观判断法改进

上述判断方法，明显存在效率极低的问题。对于每个数n，其实并不需要从2判断到n-1，我们知道，一个数若可以进行因数分解，那么分解时得到的两个数一定是一个小于等于sqrt(n)，一个大于等于sqrt(n)，据此，上述代码中并不需要遍历到n-1，遍历到sqrt(n)即可，因为若sqrt(n)左侧找不到约数，那么右侧也一定找不到约数。C++代码如下：

[cpp] view plain copy

1. bool isPrime_2( int num )  
2. {  
3.      int tmp =sqrt( num);  
4.      for(int i= 2;i <=tmp; i++)  
5.         if(num %i== 0)  
6.           return 0 ;  
7.      return 1 ;  
8. }  

3）另一种方法

方法（2）应该是最常见的判断算法了，时间复杂度O(sqrt(n))，速度上比方法（1）的O(n)快得多。最近在网上偶然看到另一种更高效的方法，暂且称为方法（3）吧，由于找不到原始的出处，这里就不贴出链接了，如果有原创者看到，烦请联系我，必定补上版权引用。下面讲一下这种更快速的判断方法；
首先看一个关于质数分布的规律：大于等于5的质数一定和6的倍数相邻。例如5和7，11和13,17和19等等；

证明：令x≥1，将大于等于5的自然数表示如下：

······ 6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4，6x+5，6(x+1），6(x+1)+1 ······

可以看到，不在6的倍数两侧，即6x两侧的数为6x+2，6x+3，6x+4，由于2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，所以它们一定不是素数，再除去6x本身，显然，素数要出现只可能出现在6x的相邻两侧。这里有个题外话，关于孪生素数，有兴趣的道友可以再另行了解一下，由于与我们主题无关，暂且跳过。这里要注意的一点是，在6的倍数相邻两侧并不是一定就是质数。

根据以上规律，判断质数可以6个为单元快进，即将方法（2）循环中i++步长加大为6，加快判断速度，代码如下：

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1. bool isPrime_3( int num )  
2. {  
3.                  //两个较小数另外处理  
4.                  if(num ==2|| num==3 )  
5.                                  return 1 ;  
6.                  //不在6的倍数两侧的一定不是质数  
7.                  if(num %6!= 1&&num %6!= 5)  
8.                                  return 0 ;  
9.                  int tmp =sqrt( num);  
10.                  //在6的倍数两侧的也可能不是质数  
11.                  for(int i= 5;i <=tmp; i+=6 )  
12.                                  if(num %i== 0||num %(i+ 2)==0 )  
13.                                                  return 0 ;  
14.                  //排除所有，剩余的是质数  
15.                  return 1 ;