矩阵2范数与向量2范数的关系

向量2范数是对应元素平方和：
$lVertm{x} Vert_2=left(sum_{i=1}^{n}x_i^2 ight)^{frac{1}{2}}$

矩阵2范数是：
$lVert A Vert_2=sqrt{lambda_{1}}$
其中 $lambda_1$ 是矩阵 $A^TA$ 的最大特征值.

除此之外，矩阵有一个F范数（Frobenius范数）倒是跟向量的2范数比较相似，是矩阵内所有元素平方和：
$lVert A Vert_F=left(sum_{i=1}^{m}sum_{j=1}^{n}a_{i,j}^2 ight)^{frac{1}{2}}$

矩阵的2范数是向量二范数对应的诱导范数。给定某一种向量范数 $|x|$ ，它所对应的矩阵范数定义为：

$|A|=sup_{x eq 0}frac{|Ax|}{|x|}$

左边的范数 $|A|$ 是矩阵范数，而右边分子分母都是向量范数，因为 $Ax$ 也是一个向量，通过这种方式定义出来的矩阵范数称为矩阵的诱导范数。可以证明，矩阵的2范数是由向量2范数诱导定义的。

更多的诱导范数的例子可以参照维基百科：Matrix norm - Wikipedia

参考：https://www.zhihu.com/question/57316170/answer/152423607