朴素贝叶斯

朴素贝叶斯分类器是一种利用概率论知识实现的分类器，之所以称之为“朴素”，是因为整个形式化过程只做最原始、最简单的假设。下面将从原理到实战进行详细讲解。

# 基于贝叶斯决策理论的分类方法

在讲述朴素贝叶斯之前，贝叶斯决策理论的核心思想，即选择具有最高概率的决策。如上图的AB桶，若是问一个出自其中的一个黑球更可能来自哪个桶？由先验知识P(black|bucketA) 和 P(black|bucketB)，我们不难由贝叶斯公式得到，P(bucketA|black)=3/7，P(bucketB|black)=4/7。

可以看出，贝叶斯准则就是通过交换条件概率中的条件与结果，即如果已知 P(x|c)，来求P(c|x)。具体地，应用贝叶斯准则得到：

[p(c_{i}|x,y) = frac{p(x,y|c_{i})p(c_{i})}{p(x,y)} ]

使用这些定义，可以定义贝叶斯分类准则为：

如果p(c1|x, y) > p(c2|x, y) ，那么属于类别c1。
如果p(c1|x, y) < p(c2|x, y) ，那么属于类别c2。

# 使用朴素贝叶斯进行文档分类

机器学习的一个重要应用就是文档的自动分类。在文档分类中，整个文档（如一封电子邮件）是实例，而电子邮件中的某些元素则构成特征。虽然电子邮件是一种会不断增加的文本，但我们同样也可以对新闻报道、用户留言、政府公文等其他任意类型的文本进行分类。我们可以观察文档中出现的词，并把每个词的出现或者不出现作为一个特征，这样得到的特征数目就会跟词汇表中的词目一样多，一个文本便是一个特征向量。朴素贝叶斯是上节介绍的贝叶斯分类器的一个扩展，是用于文档分类的常用算法。

假设词汇表中有1000个单词。要得到好的概率分布，就需要足够的数据样本，假定样本数为 N。前面讲到的约会网站示例中有1000个实例，手写识别示例中每个数字有200个样本，而决策树示例中有24个样本。其中，24个样本有点少，200个样本好一些，而1000个样本就非常好了。约会网站例子中有三个特征。由统计学知，如果每个特征需要N个样本，那么对于10个特征将需要 N^{10个样本，对于包含1000个特征的词汇表将需要N}1000个样本。可以看到，所需要的样本数会随着特征数目增大而迅速增长。

如果特征之间相互独立，那么样本数就可以从N^1000减少到1000×N。所谓独立（independence）指的是统计意义上的独立，即一个特征或者单词出现的可能性与它和其他单词相邻没有关系。举个例子讲，假设单词bacon出现在unhealthy后面与出现在delicious后面的概率相同。当然，我们知道这种假设并不正确，bacon常常出现在delicious附近，而很少出现在unhealthy附近，这个假设正是朴素贝叶斯分类器中朴素（naive）一词的含义。朴素贝叶斯分类器中的另一个假设是，每个特征同等重要。其实这个假设也有问题。如果要判断留言板的留言是否得当，那么可能不需要看完所有的1000个单词，而只需要看10～20个特征就足以做出判断了。尽管上述假设存在一些小的瑕疵，但朴素贝叶斯的实际效果却很好。

下面我们便以一个实例来分析它的实现过程：

准备数据：从文本中构建词向量

首先是生成文档数据，然后求得对应的词汇表，最后根据词汇表得到特征向量。

def loadDataSet():
    '''
    创建实验样本
    :return: 第一个变量是进行词条切分后的文档集合；第二个变量是一个类别标签的集合  		
    '''
    postingList = [
        ['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'],
        ['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'],
        ['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'loev', 'him'],
        ['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'],
        ['mr','licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'sotp', 'him'],
        ['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']
    ]
    # 1 代表侮辱性文字，0代表正常言论
    classVec = [0, 1, 0, 1, 0, 1]
    return postingList, classVec

def createVocabList(dataSet):
    '''
    生成特征文档的词库列表
    :param dataSet:
    :return: 词库列表
    '''
    #创建一个空集
    vocabSet = set([])
    # 创建两个集合的并集
    for document in dataSet:
        vocabSet = vocabSet | set(document)
    return list(vocabSet)

def bagOfWords2VecMN(vocabList, inputSet):
    '''
    统计inputset中的词在vocablsit中出现次数，词袋模型
    :param vocabList: 词汇表
    :param inputSet: 某个文档
    :return: 文档向量，统计了文档中各个特征出现的次数
    '''
    # 创建一个其中所含元素均为0的向量，用于保存文档各特征出现的次数
    returnVec = [0]*len(vocabList)
    for word in inputSet:
        if word in vocabList:
            returnVec[vocabList.index(word)] += 1
        else:
            print("the word: %s is not in my Vocabulary!" % word)
    return returnVec

训练算法：从词向量计算概率

[p(c_{i}|w) = frac{p(w|c_{i})p(c_{i})}{p(w)}\ p(c_{i}|w) = frac{p(w_{0}|c_{i})p(w_{1}|c_{i})...p(w_{N}|c_{i})p(c_{i})}{p(w)} ]

现在已经知道一个词是否出现在一篇文档中，也知道该文档所属的类别。我们将使用上述公式，对每个类计算该值，然后比较这两个概率值的大小。实现伪代码如下：

计算每个类别中的文档数目

对每篇训练文档：

对每个类别：

如果词条出现在文档中→ 增加该词条的计数值

增加所有词条的计数值

对每个类别：

对每个词条：

将该词条的数目除以总词条数目得到条件概率

返回每个类别的条件概率

根据现实情况修改分类器：

①利用贝叶斯分类器对文档进行分类时，要计算多个概率的乘积以获得文档属于某个类别的概率，即计算p(w0|1)p(w1|1)p(w2|1)。如果其中一个概率值为0，那么最后的乘积也为0。为降低这种影响，可以将所有词的出现数初始化为1，并将分母初始化为2。

②另一个遇到的问题是下溢出，这是由于太多很小的数相乘造成的。当计算乘积 p(w0|ci)p(w1|ci)p(w2|ci)...p(wN|ci)时，由于大部分因子都非常小，所以程序会下溢出或者得到不正确的答案。一种解决办法是对乘积取自然对数。在代数中有ln(a*b) = ln(a)+ln(b)，于是通过求对数可以避免下溢出或者浮点数舍入导致的错误。

def trainNB0(trainMatrix, trainCategory):
    '''
    朴素贝叶斯分类器训练函数
    :param trainMatrix:文档矩阵
    :param trainCategory:由文档类别标签所构成的向量
    :return: 两个向量和一个概率
    '''
    # numTrainDocs 训练文档的数量，numWords 词库长度
    numTrainDocs = len(trainMatrix)
    numWords = len(trainMatrix[0])
    # 计算p(0)的概率
    pAbusive = sum(trainCategory) / float(numTrainDocs)
    # 计算p(wi|c0) 和 p(wi|c1), 初始化参数
    # p0Num = np.zeros(numWords)  # 分子， 某个词出现次数
    # p1Num = np.zeros(numWords)
    # p0Denom = 0.0   # 分母， 某一类出现词的个数
    # p1Denom = 0.0
    # 减少概率值为0的影响
    p0Num = np.ones(numWords)
    p1Num = np.ones(numWords)
    p0Denom = 2.0
    p1Denom = 2.0
    for i in range(numTrainDocs):
        if trainCategory[i] == 1:
            p1Num += trainMatrix[i]
            p1Denom += sum(trainMatrix[i])
        else:
            p0Num += trainMatrix[i]
            p0Denom += sum(trainMatrix[i])
    # 避免下溢出或者浮点数舍入导致的错误，采用对数的方式
    p1Vect = np.log(p1Num / p1Denom)
    p0Vect = np.log(p0Num / p0Denom)
    return p0Vect, p1Vect, pAbusive

测试算法：朴素贝叶斯分类函数检验

def classifyNB(vec2Classify, p0Vec, p1Vec, pClass1):
    '''
    朴素贝叶斯分类函数
    :param vec2Classify: 待分类的向量
    :param p0Vec: 第0类各特征的概率向量
    :param p1Vec: 第1类各特征的概率向量
    :param pClass1: 文档属于class=1的概率
    :return: 分类结果
    '''
    # 由bayes公式可知，分母相同不用比较，分子取对数比较大小
    p1 = np.sum(vec2Classify * p1Vec) + np.log(pClass1)
    p0 = np.sum(vec2Classify * p0Vec) + np.log(1.0 - pClass1)
    if p1 > p0:
        return 1
    else:
        return 0

def testingNB():
    '''
    测试函数
    '''
    listOposts, listClasses = loadDataSet() # 数据集和标签
    myVocabList = createVocabList(listOposts) # 词库
    trainMat = []   # 数据集转换成词库01的序列集合
    for postinDoc in listOposts:
        trainMat.append(bagOfWords2VecMN(myVocabList, postinDoc))
    # 0类各词出现概率， 1类各词出现概率， 1类出现的概率
    p0V, p1V, pAb = trainNB0(trainMat, listClasses)
    testEntry = ['love', 'my', 'dalmation']
    thisDoc = bagOfWords2VecMN(myVocabList, testEntry)
    print(testEntry, "classified as:", classifyNB(thisDoc, p0V, p1V, pAb))
    testEntry = ['stupid', 'garbage']
    thisDoc = bagOfWords2VecMN(myVocabList, testEntry)
    print(testEntry, "classified as:", classifyNB(thisDoc, p0V, p1V, pAb))

if __name__ == '__main__':
    testingNB()

以上便是利用朴素贝叶斯分类器的实现过程，总结一下便是利用贝叶斯公式计算概率，取值最大的分类作为分类器的预测结果。