CH5E09 能量相连【区间DP】

5E09 能量项链 0x5E「动态规划」练习

描述

    在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。
需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。
例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：
(4⊕1)=10*2*3=60。
这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为
((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

输入格式

输入的第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当i<N< span>时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。
至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式

输出只有一行，是一个正整数E（E≤2.1*109），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

样例输入

4
2 3 5 10

样例输出

710

来源

CCF NOIP2006

题意：

有n个珠子串成一条项链，每个项链有两个数值，头价值和尾价值。前一个珠子的尾价值等于后一个珠子的头价值。将他们合并成一个珠子的时候可以得到第i个珠子的头价值*i+1个珠子的头价值*i+1个珠子的尾价值。合并之后的新珠子的头价值等于i的头价值，尾价值等于i+1的尾价值。问如何合并，可以使得最后得到的总价值最大。

思路：

一个比较简单的区间dp。虽然是环形的，但是我们可以从1和n处断开，然后复制一遍放在末尾。

对于已经合并的区间（i，j），头价值为ball[i]， 尾价值为ball[j + 1]。

对于一个区间（i，j），他的最大价值应该是找到某一个中间点k，（i，k）（k+1,j）均已合并，那么合并（i，k）（k+1,j）可以得到的价值为ball[i] * ball[k+1] * ball[j+1]

枚举区间长度和起始点，对每个区间枚举中间点。

//#include <bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>

#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long LL;

int n;
const int maxn = 110;
int ball[maxn * 2];
int dp[maxn * 2][maxn * 2];

int main(){

    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d", &ball[i]);
    }
    for(int i = n + 1; i <= 2 * n; i++){
        ball[i] = ball[i - n];
    }

    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for(int len = 2; len <= n; len++){
        for(int i = 1; i + len - 1 <= 2 * n; i++){
            int j = i + len - 1;
            for(int k = i; k < j; k++){
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + ball[i] * ball[k + 1] * ball[j + 1]);
            }
        }
    }

    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        ans = max(ans, dp[i][i + n - 1]);
    }
    printf("%d
", ans);
    return 0;
}