最大子段和问题

最大子段和问题：

给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。当所给的整均为负数时定义子段和为0，依此定义，所求的最优值为：

   Max{0,a[i]+a[i+1]+…+a[j]},1<=i<=j<=n
    例如，当（a1,a2,a3,a4,a4,a6）=(-2,11,-4,13,-5,-2)时，最大子段和为20。

1.可以使用简单的算法3个for循环算出答案，时间复杂度为O(n^3).

2.可以使用分治法，把问题分解。

将a[1n]分成a[1n/2]和a[n/2+1n],则a[1n]的最大字段和有三种情况:
(1)a[1n]的最大子段和与a[1n/2]的最大子段和相同
(2)a[1n]的最大子段和与a[n/2n]的最大子段和相同
(3)a[1n]的最大子段和为ai++aj,1<=i<=n/2,n/2+1<=j<=n

时间复杂度为O(nlogn)。

3.动态规划法：

b[j]=max{a[i]++a[j]},1<=i<=j,且1<=j<=n,则所求的最大子段和为max b[j]，1<=j<=n。
由b[j]的定义可易知，当b[j-1]>0时b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。故b[j]的动态规划递归式为:
b[j]=max(b[j-1]+a[j],a[j])，1<=j<=n。

时间复杂度为O(n)

这里给出代码

public static int maxSum(int[] a) {
        int n = a.length;
        int sum = 0, b = 0;
        
        for(int i=0; i<n; i++) {
            if(b > 0) {
                b += a[i];
            }
            else {
                b = a[i];
            }
            sum = b>sum? b:sum;
        }
        
        return sum;
}

测试数据：

public static void main(String[] args) {
        int[] a = {-2, 11, -4, 13, -5, -2}; 
        
        System.out.println(maxSum(a));
}

结果：