【C/C++】计算两个整数的最大公约数和最小公倍数

算法一

任何>1的整数都可以写成一个或多个素数因子乘积的形式，且素数乘积因子以非递减序出现。

则整数x,y可以分别标记为：
x=p1^x1p2^x2...pm^x^m

y=p1^y¹p2^y²...pm^ym

（其中p1,p2,....是素数，若有必要素数因子的指数xj或yj可以为0）

（1）最大公约数 gcd(x,y)=p1^min(^x1,y1)p2^min(x2,y2)...pm^min(xm,ym)

（2）最小公倍数 lcm(x,y)=p1^max(^x1,y1)p2^max(x2,y2)...pm^max(xm,ym)

（3）因此，亦可得：lcm(x,y)*gcd(x,y)=x*y

按如上思路计算gcd(x,y)至少需要如下两步

step1： decompose_to_primes(int n);//把整数n分解成素数相乘的形式

step2：get_gcd(int x,int y);//根据step1的结果按照公式（1）计算gcd(x,y)

分明显计算量比较大。

实际上从编程的角度来看，在x,y的数值不是很大的情况下。若是单纯的计算最大公约数和最小公倍数可以不必这么复杂，可以从大到小遍历min(x,y)的约数，找到的第一个公约数即为所求。

 1 int get_gcd(int x,int y)
 2 {
 3     int temp;
 4     int i;
 5     if(x>y)
 6     {
 7         temp=x;
 8         x=y;
 9         y=temp;
10     }
11     if(y%x==0)
12         return x;
13     for(i=x/2;i>1;i--)
14         if(x%i==0)
15             if(y%i==0)
16                 return i;    
17     return 1;
18 }
19 
20 int get_lcm(int x,int y)
21 {
22  return (x*y)/(get_gcd(x,y));
23 }

算法二

用Euclid算法（即辗转相除法）

step1、令r为a/b所得余数（0≤r<b）。若 r= 0，算法结束，则b 即为所求，否则执行step2。

step2、a←b，b←r，重新执行step1。

 1 int gcd(int x,int y)//Euclid method
 2 {
 3     int r;
 4     if(x<y)
 5     {
 6         r=x;
 7         x=y;
 8         y=r;
 9     }
10     r=x%y;
11     while(r)
12     {
13         x=y;
14         y=r;
15         r=x%y;
16     }
17         return y;
18 }