最小的K个数

题目：输入n个整数,找到其中最小的K个数。例如输入4,5,1,6,2,7,3,8这8个数字，则最小的4个数字是1,2,3,4.

解法一：O(n)的算法，只有当我们可以修改输入的数组时可用，

我们同样可以基于Partition函数来解决这个问题。如果基于数组的第k个数字来调整,使得比第K个数字小的所有数字都位于数组的左边，比第K个数字大的所有数字都位于数组的右边。这样调整之后，位于数组中左边的k个数字就是最小的k个数字。参考代码如下：

 1 #include<iostream> 
 2 using namespace std; 
 3 int partition(int *input,int n,int s,int t) 
 4 { 
 5     if(input==NULL||n<=0||s<0||t>n-1) 
 6         return 0; 
 7     int tmp; 
 8     if(s<t) 
 9     { 
10         tmp=input[s]; 
11         while(s<t) 
12         { 
13             while(s<t&&input[t]>=tmp) 
14                 t--; 
15             input[s]=input[t]; 
16             while(s<t&&input[s]<=tmp) 
17                 s++; 
18             input[t]=input[s]; 
19         } 
20         input[s]=tmp; 
21     } 
22     return s; 
23 } 
24 
25 
26 void getleastnumbers(int *input,int n,int *output,int k) 
27 { 
28     if(input==NULL||output==NULL||k>n||n<=0||k<=0) 
29         return; 
30     int start=0; 
31     int end=n-1; 
32     int index; 
33     index=partition(input,n,start,end); 
34     while(index!=k-1) 
35     { 
36         if(index>k-1) 
37         { 
38             end=index-1; 
39             index=partition(input,n,start,end); 
40         } 
41         else 
42         { 
43             start=index+1; 
44             index=partition(input,n,start,end); 
45         } 
46     } 
47     for(int i=0;i<k;i++) 
48         output[i]=input[i]; 
49  } 
50 int main() 
51 { 
52     int input[]={4,5,1,6,2,7,3,8,3}; 
53     int output[9]; 
54     int k; 
55     cin>>k; 
56     getleastnumbers(input,9,output,k); 
57     for(int i=0;i<k;i++) 
58         cout<<output[i]<<" "; 
59     cout<<endl; 
60     return 1; 
61 }

解法二：O(nlogk)的算法，特别适合处理海量数据

我们可以先创建一个大小为K的数据容器来存储最小的k个数字，接下来我们每次从输入的n个整数中读入一个数。如果容器中已有的数字少于K个，则直接把这次读入的整数放入容器之中；如果容器中已有K个数字了，也就是容器已满，此时我们不能再插入新的数字而只有替换已有的数字。找出这已有的K个数中的最大值，然后拿这次待插入的整数和最大值进行比较。如果待插入的值比当前已有的最大值小，则用这个数替换当前已有的最大值；如果待插入的值比当前已有的最大值还要大，那么这个数不可能是最小的K个整数之一，于是我们可以抛弃这个整数。

因此当容器满了之后，我们要做3件事情：一是在K个整数中找到最大数；二是有可能在这个容器中删除最大数；三是有可能要插入一个新的数字。如果用一个二叉树来实现这个数据容器，那么我们能在O(logk)时间内实现这三部操作。因此对于n个输入数字而言，总的时间效率就是O(nlogk).

我们可以选择用不同的二叉树来实现这个数据容器。由于每次需要找到k个整数中的最大数字，我们很容易想到了最大堆，在最大堆中，根结点的值总是大于它的子树中任意结点的值。于是我们每次可以在O(1)得到已有的K个数字中的最大值，但需要O(logk)时间完成删除和插入操作。

我们自己从头实现一个最大堆需要一定的代码，在面试短短几十分钟内很难完成的。我们还可以采用红黑树来实现我们的容器。红黑树通过把结点分为红、黑两种颜色并根据一些规律确保树在一定程度上是平衡的，从而保证在红黑树中查找、删除和插入的操作都只需要O(logK)时间。在STL中set和multiset都是基于红黑树实现的。

参考代码如下：

 1 #include<iostream> 
 2 #include<set> 
 3 using namespace std; 
 4 typedef multiset<int,greater<int> > intset; 
 5 typedef multiset<int,greater<int> >::iterator setIterator; 
 6 
 7 void getleastnumbers(int *input,int n,intset &leastnumbers,int k) 
 8 { 
 9     leastnumbers.clear(); 
10     if(k<1||n<k) 
11         return; 
12     for(int i=0;i<n;i++) 
13     { 
14         if(leastnumbers.size()<k) 
15             leastnumbers.insert(input[i]); 
16         else 
17         { 
18 
19             setIterator iterGreatest=leastnumbers.begin(); 
20             if(input[i]<*iterGreatest) 
21             { 
22                 leastnumbers.erase(iterGreatest); 
23                 leastnumbers.insert(input[i]); 
24             } 
25         } 
26     } 
27 } 
28 
29 int main() 
30 { 
31     int input[]={4,5,1,6,2,7,3,8,3}; 
32     int k; 
33     intset myset; 
34     cin>>k; 
35     getleastnumbers(input,9,myset,k); 
36     for(setIterator it=myset.begin();it!=myset.end();++it) 
37         cout<<*it<<" "; 
38     cout<<endl; 
39     return 1; 
40 }