转载自：http://www.acmerblog.com/egg-dropping-puzzle-5591.html
两个软硬程度一样但未知的鸡蛋，它们有可能都在一楼就摔碎，也可能从一百层楼摔下来没事。
现有座36层的建筑，要你用这两个鸡蛋确定哪一层是鸡蛋可以安全落下的最高位置，可以摔碎两个鸡蛋，要求用最少的测试次数。
/* 1.如果你从某一层楼扔下鸡蛋，它没有碎，则这个鸡蛋你可以继续用 2.如果这个鸡蛋摔碎了，则你可以用来测试的鸡蛋减少一个 3.所有鸡蛋的质量相同（都会在同一楼层以上摔碎） 4.对于一个鸡蛋，如果其在楼层i扔下的时候摔碎了，对于任何不小于i的楼层，这个鸡蛋都会被摔碎 5.如果在楼层i扔下的时候没有摔碎，则对于任何不大于i的楼层，这颗鸡蛋也不会摔碎 6.从第1层扔下，鸡蛋不一定完好，从第36层扔下，鸡蛋也不一定会摔碎。 */
实际上，我们的终极目的是要找出连续的两层楼i，i+1。在楼层i鸡蛋没有摔碎，在楼层i+1鸡蛋碎了，问题的关键之处在于，测试之前，你并不知道鸡蛋会在哪一层摔碎，你需要找到的是一种测试方案，这种测试方案，无论鸡蛋会在哪层被摔碎，都至多只需要m次测试，在所有这些测试方案中，m的值最小。
为什么是两个鸡蛋呢？如果只有一个鸡蛋，我们只能从下往上一层一层的测试。对于2个鸡蛋，比较容易想到的就是使用二分的方法，现在18层测试，如果这颗碎了，则你从第1层，到第17层，依次用第2颗鸡蛋测试。否则继续用两个鸡蛋测试上半部分的楼层，最多需要18次测试，减少了一半。看似是个不错的方法，可惜正确答案是8次。
把这个问题一般化，考虑n个鸡蛋 k层楼，记为E(n,k)。
解决的办法是试着从每一层掉落一个鸡蛋（从1到k）并递归计算需要在最坏的情况下需要的最小测试次数。考虑用程序来穷举所有情况找到答案。
1) 最优子结构
当我们从一个楼层x扔下鸡蛋时，有可能出现两种情况（1）鸡蛋破（2）鸡蛋不破。
1）鸡蛋破，那么我们只需要用剩下的鸡蛋测试 x层以下的楼层; 所以问题简化为x-1层和n-1个鸡蛋
2）如果鸡蛋没有破，那么我们只需要检查比x较高的楼层; 所以问题简化为 k-x 和n个鸡蛋。
最优子结构可以表示为：
/* k ==> 楼层数 n ==> 鸡蛋数 eggDrop(n, k) ==>最少需要的测试次数(考虑所有情况) eggDrop(n, k) = 1 + min{max(eggDrop(n - 1, x - 1), eggDrop(n, k - x)): x 属于 {1, 2, ..., k}} */
# include <stdio.h> # include <limits.h> int max(int a, int b) { return (a > b)? a: b; } int eggDrop(int n, int k) { // 基本情况 if (k == 1 || k == 0) return k; //如果只有一个鸡蛋，最坏的情况下需要k测试 if (n == 1) return k; int min = INT_MAX, x, res; // 考虑从第1层到底k层扔下鸡蛋的所有情况 的最小结果 for (x = 1; x <= k; x++) { res = max(eggDrop(n-1, x-1), eggDrop(n, k-x)); if (res < min) min = res; } return min + 1; } /* 测试 */ int main() { int n = 2, k = 10; printf (" Minimum number of trials in worst case with %d eggs and " "%d floors is %d ", n, k, eggDrop(n, k)); return 0; }
重叠子问题
因为上面的程序重复计算了很多子问题。以E(2,4)为例：
E(2,4) | ------------------------------------- | | | | | | | | x=1/ x=2/ x=3/ x=4/ / / .... .... / / E(1,0) E(2,3) E(1,1) E(2,2) / /... / x=1/ ..... / E(1,0) E(2,2) / ...... 对于2个鸡蛋，4层楼 部分递归
因此完全可以用动态规划解决。
# include <stdio.h> # include <limits.h> int max(int a, int b) { return (a > b)? a: b; } int eggDrop(int n, int k) { /* eggFloor[i][j] 表示对于 i个鸡蛋 j 层楼，需要的最少测试次数 */ int eggFloor[n+1][k+1]; int res; int i, j, x; // 初始化 for (i = 1; i <= n; i++) { eggFloor[i][1] = 1; eggFloor[i][0] = 0; } //只有一个鸡蛋，没得优化，需要j次 for (j = 1; j <= k; j++) eggFloor[1][j] = j; // 最优子结构的递推 for (i = 2; i <= n; i++) { for (j = 2; j <= k; j++) { eggFloor[i][j] = INT_MAX; for (x = 1; x <= j; x++) { res = 1 + max(eggFloor[i-1][x-1], eggFloor[i][j-x]); if (res < eggFloor[i][j]) eggFloor[i][j] = res; } } } return eggFloor[n][k]; } /* 测试*/ int main() { int n = 2, k = 36; printf (" Minimum number of trials in worst case with %d eggs and " "%d floors is %d ", n, k, eggDrop(n, k)); return 0; }