Link
Solution
给定 (a_k)，(t) 和 (m) ，求使得下式成立的 (b_m)。
[sum_{k=0}^n a_k x^k=sum_{k=0}^n b_k(x-t)^k
]
容易想到多项式对应项系数相等，后面的直接二项式展开。
[(*)=sum_{k=0}^n b_k(x-t)^k=sum_{k=0}^n b_ksum_{i=0}^k inom{k}{i} (-t)^{k-i} x^i
]
考虑交换枚举顺序
[(*)=sum_{i=0}^n x^i sum_{k=i}^n b_kinom{k}{i}(-t)^{k-i}
]
那么就有
[a_i=sum_{k=i}^n b_kinom{k}{i}(-t)^{k-i}
]
两边同乘 (t^i) ，再令 (G(i)=a_i t^i)，(F(i)=b_i t^i)，用 (F) 和 (G) 替换上式，得
[G(i)=sum_{k=i}^n (-1)^{k-i}inom{k}{i} F(k)
]
已经可以二项式反演了，反演后再将 (a_k) 和 (b_k) 还原回来，得到
[b_i=sum_{k=i}^n inom{k}{i} t^{k-i}a_k
]