BZOJ 4031: [HEOI2015]小Z的房间

标签（空格分隔）： OI BZOJ MATRIX-TREE定理高斯消元

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Memory Limit: 256 MB

Description

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。

你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。
Input

第一行两个数分别表示n和m。

接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’’，其中’.’代表房间，’’代表柱子。
Output

一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

Sample Input

3 3

...

.*.

Sample Output

15
HINT

对于前100%的数据，n,m<=9

Solution####

MATRIX-TREE定理

1、G的度数矩阵({D_G})是一个n*n的矩阵，并且满足：当i≠j时,({D_{i,j}})=0；当i=j时，({D_{i,j}})等于({V_{i}})的度数。
2、G的邻接矩阵({A_{G}})也是一个n*n的矩阵，并且满足：如果({V_{i}})、({V_{j}})之间有边直接相连，则({A_{i,j}})=1，否则为0。
定义G的Kirchhoff矩阵(C_G)为(C_G=D_G-A_G)。
Matrix-Tree定理：G的所有不同的生成树的个数等于其Kirchhoff矩阵(C_G)任何一个n-1阶主子式（去掉第行第i列的新矩阵）的行列式的绝对值。

高斯消元解行列式时会出现除法运算，利用欧几里德算法。
具体来说，高斯消元时进行初等变换，正常高斯消元把某行乘以某个数字加到另一行上，使得目标行某个位置为0，算出对应位置比例一次变换。在整数意义下，设对应位置数值为a，b使得b为0，则使b所在行+a所在行*b/a，(a,b)->(a,b mod a)。交换2行，做类似相同操作，直到a或b为0停止。

Code####

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<bitset>
#include<vector>
using namespace std;
#define PA pair<int,int>
const int N=0,M=0;
int read()
{int s=0,f=1;char ch=getchar();
 while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
 while(ch>='0'&&ch<='9'){s=(s<<1)+(s<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
 return s*f;
}
//smile please
int n,m,S,mo=1000000000;
int s[11][11];
char z[11][11];
int a[82][82];
int gs()
{
	S--;
	for(int i=1;i<=S;i++)
	    for(int j=1;j<=S;j++)
	        a[i][j]=(a[i][j]+mo)%mo;
	long long ans=1;
	for(int j=1;j<=S;j++)
	   {for(int i=j+1;i<=S;i++)
		    while(a[i][j])
		      {long long t=a[j][j]/a[i][j];
			   for(int k=j;k<=S;k++)
		           a[j][k]=(a[j][k]-t*a[i][k]%mo+mo)%mo,
		           swap(a[i][k],a[j][k]);
		       ans*=-1;
			  }
		ans=ans*a[j][j]%mo;
	   }
	return (ans+mo)%mo;
}
int main()
{
 	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	    scanf("%s",&z[i][1]);
	for(int i=0;i<=n+1;i++)
	    for(int j=0;j<=m+1;j++)
	        if(i==0||j==0||i==n+1||j==m+1)
	          z[i][j]='*';
	for(int i=1;i<=n;i++)
	    for(int j=1;j<=m;j++)
	        if(z[i][j]=='.')
	          {s[i][j]=++S;
			   if(z[i-1][j]=='.')a[s[i-1][j]][s[i][j]]=1;
			   if(z[i-1][j]=='.')a[s[i][j]][s[i-1][j]]=1;
			   if(z[i][j-1]=='.')a[s[i][j-1]][s[i][j]]=1;
			   if(z[i][j-1]=='.')a[s[i][j]][s[i][j-1]]=1;
			  }
	for(int i=1;i<=S;i++)
	   for(int j=1;j<=S;j++)
	      if(a[i][j]&&i!=j)
	        a[i][i]++;
	printf("%d
",gs());
	//fclose(stdin);
	//fclose(stdout);
	return 0;
}