UVa10891 Game of Sum（dp）

简述：
n的序列，两人轮流从两端取数，
两人都选择最优策略，求两人的得分之差

分析：
一开始觉得是一道博弈
但是可以用dp解决的
这就和Tyvj上的硬币游戏有异曲同工之妙

因为只能取一个连续的区间
所以剩下的一定是原序列中的一个连续区间
这就指引我们往区间dp的方向上想
设计状态：f[i][j]表示现在剩下i~j的序列，先手的最高得分
f[i][j]=sum(i,j)-min{f[i+1][j]，f[i+2][j]，…，f[j][j]，f[i][j-1]，f[i][j-2]，…，f[i][i]，0}
注意，0表示先手全部取走
最后答案是
f[1][n]-(sum(1,n)-f[1][n])

时间复杂度O(n^3)

tip

当面前只有一个数的时候，必须取

//这里写代码片
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>

using namespace std;

const int INF=1e9;
const int N=110;
int n;
int sum[N];
int f[N][N];

void dp()
{
    int i,j,k;
    memset(f,0,sizeof(f));
    for (int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=sum[i]-sum[i-1];   //必须取数 
    for (int i=n;i>=1;i--)
        for (int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            int minn=0;
            for (k=i;k<j;k++)
            {
                minn=min(minn,f[i][k]);
                minn=min(minn,f[k+1][j]);
            }
            f[i][j]=sum[j]-sum[i-1]-minn;
        }
    printf("%d
",f[1][n]-(sum[n]-f[1][n]));
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    while (n)
    {
        sum[0]=0;
        for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&sum[i]),sum[i]+=sum[i-1];
        dp();
        scanf("%d",&n);
    }
    return 0;
}

然而

我们还可以让时间复杂去更优一点
我们发现转移的时候，min值的计算是很有规律的
所以我们记
g1[i][j]=min{f[i][j]，f[i+1][j]，f[i+2][j]，…，f[j][j]}
g2[i][j]=min{f[i][j]，f[i][j-1]，f[i][j-2]，…，f[i][i]}

转移就变成了：
f[i][j]=sum(i,j)-min{g1[i+1][j]，g2[i][j-1]，0}
不要忘了0

g1和g2的转移也很好维护
g1[i][j]=min(g1[i+1][j],f[i][j])
g2[i][j]=min(g2[i][j-1],f[i][j])

这样优化之后，时间复杂度就降到了n^2

void dp()
{
    int i,j,k;
    for (int i=1;i<=n;i++) 
    {
        f[i][i]=sum[i]-sum[i-1];
        g1[i][i]=f[i][i];
        g2[i][i]=f[i][i];
    }
    for (i=n;i>=1;i--)
        for (j=i+1;j<=n;j++)
        {
            int minn=0;
            minn=min(minn,g1[i+1][j]);
            minn=min(minn,g2[i][j-1]);
            f[i][j]=sum[j]-sum[i-1]-minn;
            g1[i][j]=min(g1[i+1][j],f[i][j]);
            g2[i][j]=min(g2[i][j-1],f[i][j]);
        }
    printf("%d
",f[1][n]-(sum[n]-f[1][n]));
}