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1. 引言(Introduction)
1.1 Welcome
随着互联网数据不断累积，硬件不断升级迭代，在这个信息爆炸的时代，机器学习已被应用在各行各业中，可谓无处不在。
一些常见的机器学习的应用，例如：
- 手写识别
- 垃圾邮件分类
- 搜索引擎
- 图像处理
- …
使用到机器学习的一些案例：
- 数据挖掘
- 网页点击流数据分析
- 人工无法处理的工作(量大)
- 手写识别
- 计算机视觉
- 个人定制
- 推荐系统
- 研究大脑
- ……
1.2 什么是机器学习(What is Machine Learning)
- 机器学习定义
这里主要有两种定义：
-
Arthur Samuel (1959). Machine Learning: Field of study that gives computers the ability to learn without being explicitly programmed.
这个定义有点不正式但提出的时间最早，来自于一个懂得计算机编程的下棋菜鸟。他编写了一个程序，但没有显式地编程每一步该怎么走，而是让计算机自己和自己对弈，并不断地计算布局的好坏，来判断什么情况下获胜的概率高，从而积累经验，好似学习，最后，这个计算机程序成为了一个比他自己还厉害的棋手。
-
Tom Mitchell (1998) Well-posed Learning Problem: A computer program is said to learn from experience E with respect to some task T and some performance measure P, if its performance on T, as measured by P, improves with experience E.
Tom Mitchell 的定义更为现代和正式。在过滤垃圾邮件这个例子中，电子邮件系统会根据用户对电子邮件的标记（是/不是垃圾邮件）不断学习，从而提升过滤垃圾邮件的准确率，定义中的三个字母分别代表：
- T(Task): 过滤垃圾邮件任务。
- P(Performance): 电子邮件系统过滤垃圾邮件的准确率。
- E(Experience): 用户对电子邮件的标记。
-
机器学习算法
主要有两种机器学习的算法分类
- 监督学习
- 无监督学习
两者的区别为是否需要人工参与数据结果的标注。这两部分的内容占比很大，并且很重要，掌握好了可以在以后的应用中节省大把大把的时间~
还有一些算法也属于机器学习领域，诸如：
- 半监督学习: 介于监督学习于无监督学习之间
- 推荐算法: 没错，就是那些个买完某商品后还推荐同款的某购物网站所用的算法。
- 强化学习: 通过观察来学习如何做出动作，每个动作都会对环境有所影响，而环境的反馈又可以引导该学习算法。
- 迁移学习
1.3 监督学习(Supervised Learning)
监督学习，即为教计算机如何去完成预测任务（有反馈），预先给一定数据量的输入和对应的结果即训练集，建模拟合，最后让计算机预测未知数据的结果。
监督学习一般有两种：
-
回归问题(Regression)
回归问题即为预测一系列的连续值。
在房屋价格预测的例子中，给出了一系列的房屋面基数据，根据这些数据来预测任意面积的房屋价格。给出照片-年龄数据集，预测给定照片的年龄。
-
分类问题(Classification)
分类问题即为预测一系列的离散值。
即根据数据预测被预测对象属于哪个分类。
视频中举了癌症肿瘤这个例子，针对诊断结果，分别分类为良性或恶性。还例如垃圾邮件分类问题，也同样属于监督学习中的分类问题。
视频中提到支持向量机这个算法，旨在解决当特征量很大的时候(特征即如癌症例子中的肿块大小，颜色，气味等各种特征)，计算机内存一定会不够用的情况。支持向量机能让计算机处理无限多个特征。
1.4 无监督学习(Unsupervised Learning)
相对于监督学习，训练集不会有人为标注的结果（无反馈），我们不会给出结果或无法得知训练集的结果是什么样，而是单纯由计算机通过无监督学习算法自行分析，从而“得出结果”。计算机可能会把特定的数据集归为几个不同的簇，故叫做聚类算法。
无监督学习一般分为两种：
- 聚类(Clustering)
- 新闻聚合
- DNA 个体聚类
- 天文数据分析
- 市场细分
- 社交网络分析
- 非聚类(Non-clustering)
- 鸡尾酒问题
新闻聚合
在例如谷歌新闻这样的网站中，每天后台都会收集成千上万的新闻，然后将这些新闻分组成一个个的新闻专题，这样一个又一个聚类，就是应用了无监督学习的结果。
鸡尾酒问题
在鸡尾酒会上，大家说话声音彼此重叠，几乎很难分辨出面前的人说了什么。我们很难对于这个问题进行数据标注，而这里的通过机器学习的无监督学习算法，就可以将说话者的声音同背景音乐分离出来，看视频，效果还不错呢~~。
嗯，这块是打打鸡血的，只需要一行代码就解决了问题，就是这么简单！当然，我没复现过 _……
神奇的一行代码：
[W,s,v] = svd((repmat(sum(x.*x,1),size(x,1),1).*x)*x');
编程语言建议
在机器学习刚开始时，推荐使用 Octave 类的工程计算编程软件，因为在 C++ 或 Java 等编程语言中，编写对应的代码需要用到复杂的库以及要写大量的冗余代码，比较耗费时间，建议可以在学习过后再考虑使用其他语言来构建系统。
另外，在做原型搭建的时候也应该先考虑使用类似于 Octave 这种便于计算的编程软件，当其已经可以工作后，才将模型移植到其他的高级编程语言中。
注：Octave 与 MATLAB 语法相近，由于 MATLAB 为商业软件，课程中使用开源且免费的 Octave。
机器学习领域发展迅速，现在也可使用 Tensorflow 等开源机器学习框架编写机器学习代码，这些框架十分友好，易于编写及应用。
2 单变量线性回归(Linear Regression with One Variable)
2.1 模型表示(Model Representation)
- 房价预测训练集
| Size in $feet^2$ ($x$) | Price ($) in 1000's($y$) |
|---|---|
| 2104 | 460 |
| 1416 | 232 |
| 1534 | 315 |
| 852 | 178 |
| ... | ... |
房价预测训练集中，同时给出了输入 $x$ 和输出结果 $y$，即给出了人为标注的”正确结果“，且预测的量是连续的，属于监督学习中的回归问题。
- 问题解决模型
[外链图片转存失败(img-kjB3RLia-1568369880643)(images/20180105_212048.png)]
其中 $h$ 代表结果函数，也称为假设(hypothesis) 。假设函数根据输入(房屋的面积)，给出预测结果输出(房屋的价格)，即是一个 $X o Y$ 的映射。
$h_ heta(x)= heta_0+ heta_1x$，为解决房价问题的一种可行表达式。
$x$: 特征/输入变量。
上式中，$ heta$ 为参数，$ heta$ 的变化才决定了输出结果，不同以往，这里的 $x$ 被我们视作已知(不论是数据集还是预测时的输入)，所以怎样解得 $ heta$ 以更好地拟合数据，成了求解该问题的最终问题。
单变量，即只有一个特征(如例子中房屋的面积这个特征)。
2.2 代价函数(Cost Function)
李航《统计学习方法》一书中，损失函数与代价函数两者为同一概念，未作细分区别，全书没有和《深度学习》一书一样混用，而是统一使用损失函数来指代这类类似概念。
吴恩达(Andrew Ng)老师在其公开课中对两者做了细分。如果要听他的课做作业，不细分这两个概念是会被打小手扣分的！这也可能是因为老师发现了业内混用的乱象，想要治一治吧。
损失函数(Loss/Error Function): 计算单个样本的误差。
代价函数(Cost Function): 计算整个训练集所有损失函数之和的平均值
我们的目的在于求解预测结果 $h$ 最接近于实际结果 $y$ 时 $ heta$ 的取值，则问题可表达为求解 $sumlimits_{i=0}{m}(h_ heta(x{(i)})-y^{(i)})$ 的最小值。
$m$: 训练集中的样本总数
$y$: 目标变量/输出变量
$left(x, y ight)$: 训练集中的实例
$left(x{left(i ight)},y{left(i ight)} ight)$: 训练集中的第 $i$ 个样本实例
[外链图片转存失败(img-VyozXzkj-1568369880643)(images/20180105_224648.png)]
上图展示了当 $ heta$ 取不同值时，$h_ hetaleft(x ight)$ 对数据集的拟合情况，蓝色虚线部分代表建模误差（预测结果与实际结果之间的误差），我们的目标就是最小化所有误差之和。
为了求解最小值，引入代价函数(Cost Function)概念，用于度量建模误差。考虑到要计算最小值，应用二次函数对求和式建模，即应用统计学中的平方损失函数（最小二乘法）：
$$J( heta_0, heta_1)=dfrac{1}{2m}displaystylesum_{i=1}^mleft(hat{y}{i}-y{i} ight)2=dfrac{1}{2m}displaystylesum_{i=1}mleft(h_ heta(x_{i})-y_{i} ight)^2$$
$hat{y}$: $y$ 的预测值
系数 $frac{1}{2}$ 存在与否都不会影响结果，这里是为了在应用梯度下降时便于求解，平方的导数会抵消掉 $frac{1}{2}$ 。
讨论到这里，我们的问题就转化成了求解 $Jleft( heta_0, heta_1 ight)$ 的最小值。
2.3 代价函数 - 直观理解1(Cost Function - Intuition I)
根据上节视频，列出如下定义：
- 假设函数(Hypothesis): $h_ heta(x)= heta_0+ heta_1x$
- 参数(Parameters): $ heta_0, heta_1$
- 代价函数(Cost Function): $Jleft( heta_0, heta_1 ight)=frac{1}{2m}sumlimits_{i=1}^{m}{{{left( {{h}_{ heta }}left( {{x}^{(i)}} ight)-{{y}^{(i)}} ight)}^{2}}}$
- 目标(Goal): $underset{ heta_0, heta_1}{ ext{minimize}} J left( heta_0, heta_1 ight)$
为了直观理解代价函数到底是在做什么，先假设 $ heta_1 = 0$，并假设训练集有三个数据，分别为$left(1, 1 ight), left(2, 2 ight), left(3, 3 ight)$，这样在平面坐标系中绘制出 $h_ hetaleft(x ight)$ ，并分析 $Jleft( heta_0, heta_1 ight)$ 的变化。
右图 $Jleft( heta_0, heta_1 ight)$ 随着 $ heta_1$ 的变化而变化，可见当 $ heta_1 = 1$ 时，$Jleft( heta_0, heta_1 ight) = 0$，取得最小值，对应于左图青色直线，即函数 $h$ 拟合程度最好的情况。
2.4 代价函数 - 直观理解2(Cost Function - Intuition II)
注：该部分由于涉及到了多变量成像，可能较难理解，要求只需要理解上节内容即可，该节如果不能较好理解可跳过。
给定数据集：
参数在 $ heta_0$ 不恒为 $0$ 时代价函数 $Jleft( heta ight)$ 关于 $ heta_0, heta_1$ 的3-D图像，图像中的高度为代价函数的值。
由于3-D图形不便于标注，所以将3-D图形转换为轮廓图(contour plot)，下面用轮廓图（下图中的右图）来作直观理解，其中相同颜色的一个圈代表着同一高度（同一 $Jleft( heta ight)$ 值）。
$ heta_0 = 360, heta_1 =0$ 时：
大概在 $ heta_0 = 0.12, heta_1 =250$ 时：
上图中最中心的点（红点），近乎为图像中的最低点，也即代价函数的最小值，此时对应 $h_ hetaleft(x
ight)$ 对数据的拟合情况如左图所示，嗯，一看就拟合的很不错，预测应该比较精准啦。
2.5 梯度下降(Gradient Descent)
在特征量很大的情况下，即便是借用计算机来生成图像，人工的方法也很难读出 $Jleft( heta ight)$ 的最小值，并且大多数情况无法进行可视化，故引入梯度下降(Gradient Descent)方法，让计算机自动找出最小化代价函数时对应的 $ heta$ 值。
梯度下降背后的思想是：开始时，我们随机选择一个参数组合$left( { heta_{0}},{ heta_{1}},......,{ heta_{n}} ight)$即起始点，计算代价函数，然后寻找下一个能使得代价函数下降最多的参数组合。不断迭代，直到找到一个局部最小值(local minimum)，由于下降的情况只考虑当前参数组合周围的情况，所以无法确定当前的局部最小值是否就是全局最小值(global minimum)，不同的初始参数组合，可能会产生不同的局部最小值。
下图根据不同的起始点，产生了两个不同的局部最小值。
视频中举了下山的例子，即我们在山顶上的某个位置，为了下山，就不断地看一下周围下一步往哪走下山比较快，然后就迈出那一步，一直重复，直到我们到达山下的某一处陆地。
梯度下降公式：
$egin{align} & ext{repeat until convergence:} ; lbrace ewline ; &{{ heta }{j}}:={{ heta }{j}}-alpha frac{partial }{partial {{ heta }{j}}}Jleft( { heta{0}},{ heta_{1}} ight) ewline brace end{align}$
${ heta }_{j}$: 第 $j$ 个特征参数
”:=“: 赋值操作符
$alpha$: 学习速率(learning rate), $alpha > 0$
$frac{partial }{partial {{ heta }_{j}}}Jleft( heta_0, heta_1 ight)$: $Jleft( heta_0, heta_1 ight)$ 的偏导
公式中，学习速率决定了参数值变化的速率即”走多少距离“，而偏导这部分决定了下降的方向即”下一步往哪里“走（当然实际上的走多少距离是由偏导值给出的，学习速率起到调整后决定的作用），收敛处的局部最小值又叫做极小值，即”陆地“。
注意，在计算时要批量更新 $ heta$ 值，即如上图中的左图所示，否则结果上会有所出入，原因不做细究。
2.6 梯度下降直观理解(Gradient Descent Intuition)
该节探讨 $ heta_1$ 的梯度下降更新过程，即 $ heta_1 := heta_1 - alphafrac{d}{d heta_1}Jleft( heta_1 ight)$，此处为了数学定义上的精确性，用的是 $frac{d}{d heta_1}Jleft( heta_1 ight)$，如果不熟悉微积分学，就把它视作之前的 $frac{partial}{partial heta}$ 即可。
把红点定为初始点，切于初始点的红色直线的斜率，表示了函数 $Jleft( heta ight)$ 在初始点处有正斜率，也就是说它有正导数，则根据梯度下降公式 ，${{ heta }{j}}:={{ heta }{j}}-alpha frac{partial }{partial {{ heta }_{j}}}Jleft( heta_0, heta_1 ight)$ 右边的结果是一个正值，即 $ heta_1$ 会向左边移动。这样不断重复，直到收敛（达到局部最小值，即斜率为0）。
初始 $ heta$ 值（初始点）是任意的，若初始点恰好就在极小值点处，梯度下降算法将什么也不做（$ heta_1 := heta_1 - alpha*0$）。
不熟悉斜率的话，就当斜率的值等于图中三角形的高度除以水平长度好啦，精确地求斜率的方法是求导。
对于学习速率 $alpha$，需要选取一个合适的值才能使得梯度下降算法运行良好。
- 学习速率过小图示：
收敛的太慢，需要更多次的迭代。
- 学习速率过大图示：
可能越过最低点，甚至导致无法收敛。
学习速率只需选定即可，不需要在运行梯度下降算法的时候进行动态改变，随着斜率越来越接近于0，代价函数的变化幅度会越来越小，直到收敛到局部极小值。
如图，品红色点为初始点，代价函数随着迭代的进行，变化的幅度越来越小。
最后，梯度下降不止可以用于线性回归中的代价函数，还通用于最小化其他的代价函数。
2.7 线性回归中的梯度下降(Gradient Descent For Linear Regression)
线性回归模型
- $h_ heta(x)= heta_0+ heta_1x$
- $Jleft( heta_0, heta_1 ight)=frac{1}{2m}sumlimits_{i=1}^{m}{{{left( {{h}_{ heta }}left( {{x}^{(i)}} ight)-{{y}^{(i)}} ight)}^{2}}}$
梯度下降算法
- $egin{align} & ext{repeat until convergence:} ; lbrace ewline ; &{{ heta }{j}}:={{ heta }{j}}-alpha frac{partial }{partial {{ heta }{j}}}Jleft( { heta{0}},{ heta_{1}} ight) ewline brace end{align}$
直接将线性回归模型公式代入梯度下降公式可得出公式
当 $j = 0, j = 1$ 时，线性回归中代价函数求导的推导过程：
$frac{partial}{partial heta_j} J( heta_1, heta_2)=frac{partial}{partial heta_j} left(frac{1}{2m}sumlimits_{i=1}^{m}{{left( {{h}_{ heta }}left( {{x}^{(i)}} ight)-{{y}^{(i)}} ight)}^{2}} ight)=$
$left(frac{1}{2m}2sumlimits_{i=1}^{m}{{left( {{h}_{ heta }}left( {{x}^{(i)}} ight)-{{y}^{(i)}} ight)}} ight)frac{partial}{partial heta_j}{{left( {{h}_{ heta }}left( {{x}^{(i)}} ight)-{{y}^{(i)}} ight)}} =$
$left(frac{1}{m}sumlimits_{i=1}^{m}{{left( {{h}_{ heta }}left( {{x}^{(i)}} ight)-{{y}^{(i)}} ight)}} ight)*frac{partial}{partial heta_j}{{left( heta_0{x_0^{(i)}} + heta_1{x_1{(i)}}-{{y}{(i)}} ight)}}$
所以当 $j = 0$ 时：
$frac{partial}{partial heta_0} J( heta)=frac{1}{m}sumlimits_{i=1}^{m}{{left( {{h}_{ heta }}left( {{x}^{(i)}} ight)-{{y}^{(i)}} ight)}} *x_0^{(i)}$
所以当 $j = 1$ 时：
$frac{partial}{partial heta_1} J( heta)=frac{1}{m}sumlimits_{i=1}^{m}{{left( {{h}_{ heta }}left( {{x}^{(i)}} ight)-{{y}^{(i)}} ight)}} *x_1^{(i)}$
上文中所提到的梯度下降，都为批量梯度下降(Batch Gradient Descent)，即每次计算都使用所有的数据集 $left(sumlimits_{i=1}^{m} ight)$ 更新。
由于线性回归函数呈现碗状，且只有一个全局的最优值，所以函数一定总会收敛到全局最小值（学习速率不可过大）。同时，函数 $J$ 被称为凸二次函数，而线性回归函数求解最小值问题属于凸函数优化问题。
另外，使用循环求解，代码较为冗余，后面会讲到如何使用向量化(Vectorization)来简化代码并优化计算，使梯度下降运行的更快更好。
3 Linear Algebra Review
这部分，学过线性代数的可以复习一下，比较基础。笔记整理暂留。
3.1 Matrices and Vectors
Octave/Matlab 代码:
% The ; denotes we are going back to a new row.
A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9; 10, 11, 12]
% Initialize a vector
v = [1;2;3]
% Get the dimension of the matrix A where m = rows and n = columns
[m,n] = size(A)
% You could also store it this way
dim_A = size(A)
% Get the dimension of the vector v
dim_v = size(v)
% Now let's index into the 2nd row 3rd column of matrix A
A_23 = A(2,3)
执行结果:
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
v =
1
2
3
m = 4
n = 3
dim_A =
4 3
dim_v =
3 1
A_23 = 6
3.2 Addition and Scalar Multiplication
Octave/Matlab 代码:
% Initialize matrix A and B
A = [1, 2, 4; 5, 3, 2]
B = [1, 3, 4; 1, 1, 1]
% Initialize constant s
s = 2
% See how element-wise addition works
add_AB = A + B
% See how element-wise subtraction works
sub_AB = A - B
% See how scalar multiplication works
mult_As = A * s
% Divide A by s
div_As = A / s
% What happens if we have a Matrix + scalar?
add_As = A + s
执行结果:
A =
1 2 4
5 3 2
B =
1 3 4
1 1 1
s = 2
add_AB =
2 5 8
6 4 3
sub_AB =
0 -1 0
4 2 1
mult_As =
2 4 8
10 6 4
div_As =
0.50000 1.00000 2.00000
2.50000 1.50000 1.00000
add_As =
3 4 6
7 5 4
3.3 Matrix Vector Multiplication
Octave/Matlab 代码:
% Initialize matrix A
A = [1, 2, 3; 4, 5, 6;7, 8, 9]
% Initialize vector v
v = [1; 1; 1]
% Multiply A * v
Av = A * v
执行结果:
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
v =
1
1
1
Av =
6
15
24
3.4 Matrix Matrix Multiplication
Octave/Matlab 代码:
% Initialize a 3 by 2 matrix
A = [1, 2; 3, 4;5, 6]
% Initialize a 2 by 1 matrix
B = [1; 2]
% We expect a resulting matrix of (3 by 2)*(2 by 1) = (3 by 1)
mult_AB = A*B
% Make sure you understand why we got that result
执行结果:
A =
1 2
3 4
5 6
B =
1
2
mult_AB =
5
11
17
3.5 Matrix Multiplication Properties
Octave/Matlab 代码:
% Initialize random matrices A and B
A = [1,2;4,5]
B = [1,1;0,2]
% Initialize a 2 by 2 identity matrix
I = eye(2)
% The above notation is the same as I = [1,0;0,1]
% What happens when we multiply I*A ?
IA = I*A
% How about A*I ?
AI = A*I
% Compute A*B
AB = A*B
% Is it equal to B*A?
BA = B*A
% Note that IA = AI but AB != BA
执行结果:
A =
1 2
4 5
B =
1 1
0 2
I =
Diagonal Matrix
1 0
0 1
IA =
1 2
4 5
AI =
1 2
4 5
AB =
1 5
4 14
BA =
5 7
8 10
3.6 Inverse and Transpose
Octave/Matlab 代码:
% Initialize matrix A
A = [1,2,0;0,5,6;7,0,9]
% Transpose A
A_trans = A'
% Take the inverse of A
A_inv = inv(A)
% What is A^(-1)*A?
A_invA = inv(A)*A
执行结果:
A =
1 2 0
0 5 6
7 0 9
A_trans =
1 0 7
2 5 0
0 6 9
A_inv =
0.348837 -0.139535 0.093023
0.325581 0.069767 -0.046512
-0.271318 0.108527 0.038760
A_invA =
1.00000 -0.00000 0.00000
0.00000 1.00000 -0.00000
-0.00000 0.00000 1.00000