双圆弧插值算法（一）

Biarc Interpolation

在游戏开发中经常出现两点间的插值问题。大多数情况下，只需要一个简单的线性插值。线性插值很好，因为不会真的弄错。只有一条可能的线连接这些点。跟着走。当需要曲线插值时，求解会变得复杂得多。有无限数量的曲线可供选择，并有许多方法来生成：NURBS、Catmull Rom、Bézier、Hermite等。

想讨论一种生成圆形圆弧的不太常见的方法。

为什么想要一个圆插值？一个原因可能是看起来很悦目，但也有一些实际用途。如果正在制作一个放置道路的水平编辑工具（或使用程序性道路制作游戏），可能希望转弯处与真实世界中的道路相似。第二个例子，也是经常遇到的一个例子，是在剑后产生轨迹。挥剑的动作通常非常快。当剑在攻击中弧线时，只能得到几个样本点。如果以慢动作播放动画，会发现剑尖的轨迹相当圆。通过在采样点之间生成圆弧，可以生成干净的轨迹。

这里有一个为间谍编程的剑迹的例子。整个旋转过程中可能只有五到六个样本，但能够创建一个平滑的顶点弧。Spyborgs算法与将要介绍的有点不同，但是产生了类似的结果（如果知道要查找什么，实际上会稍微差一点）。

那么，要如何创建这些曲线呢？解决方案在于一个称为biarc的几何学。

双圆弧

双圆弧是由两个圆弧组成的曲线，使与匹配的切线相连。几乎每一对控制点都可以通过一个biarc连接起来，而失败的控制点在实践中并没有出现。下面是一些将红色控制点连接到蓝色控制点的biarc示例。

一旦可以求解两个控制点之间的biarc，那么将一系列控制点与一系列biarc连接起来就很简单了。这就是所谓的分段圆曲线。

目标

将生成两个圆弧作为输入。

假设输入切线是标准化的。换句话说：

找到连接

在求解弧之前，需要找到连接点，pm。

现在可以选择d1的任意实数，得到系统的解。根据值的不同，可以得到一个短的biarc或一个长的螺旋biarc。在右边的图像中，可以看到d1的不同值如何生成连接相同两个控制点的不同biarc。稍后将讨论自动为d1选择一个令人满意的值的方法。

边缘案例

如果d2方程中的分母为零，需要处理d2为无穷大的情况。这意味着t2和连接点的切线是平行的。这将创建一个半圆（请参见右侧显示的蓝色弧）。知道连接切线是t2，可以说明以下内容：

连接点pm必须位于q1外与t2平行的线上。

从p2到pm的向量必须垂直于t2。

从数学上讲，这是：