Android笔记—

Android笔记——Matrix

转自：http://www.cnblogs.com/qiengo/archive/2012/06/30/2570874.html#translate

Matrix的数学原理

在Android中，如果你用Matrix进行过图像处理，那么一定知道Matrix这个类。Android中的Matrix是一个3 x 3的矩阵，其内容如下：

Matrix的对图像的处理可分为四类基本变换：

Translate 平移变换

Rotate 旋转变换

Scale 缩放变换

Skew 错切变换

从字面上理解，矩阵中的MSCALE用于处理缩放变换，MSKEW用于处理错切变换，MTRANS用于处理平移变换，MPERSP用于处理透视变换。实际中当然不能完全按照字面上的说法去理解Matrix。同时，在Android的文档中，未见到用Matrix进行透视变换的相关说明，所以本文也不讨论这方面的问题。

针对每种变换，Android提供了pre、set和post三种操作方式。其中

set用于设置Matrix中的值。

pre是先乘，因为矩阵的乘法不满足交换律，因此先乘、后乘必须要严格区分。先乘相当于矩阵运算中的右乘。

post是后乘，因为矩阵的乘法不满足交换律，因此先乘、后乘必须要严格区分。后乘相当于矩阵运算中的左乘。

除平移变换(Translate)外，旋转变换(Rotate)、缩放变换(Scale)和错切变换(Skew)都可以围绕一个中心点来进行，如果不指定，在默认情况下是围绕(0, 0)来进行相应的变换的。

下面我们来看看四种变换的具体情形。由于所有的图形都是有点组成，因此我们只需要考察一个点相关变换即可。

一、平移变换

假定有一个点的坐标是，将其移动到，再假定在x轴和y轴方向移动的大小分别为：

如下图所示：

不难知道：

如果用矩阵来表示的话，就可以写成：

二、旋转变换

2.1 围绕坐标原点旋转：

假定有一个点，相对坐标原点顺时针旋转后的情形，同时假定P点离坐标原点的距离为r，如下图：

那么，

如果用矩阵，就可以表示为：

2.2 围绕某个点旋转

如果是围绕某个点顺时针旋转，那么可以用矩阵表示为：

可以化为：

很显然，

是将坐标原点移动到点后，的新坐标。

是将上一步变换后的，围绕新的坐标原点顺时针旋转。

经过上一步旋转变换后，再将坐标原点移回到原来的坐标原点。

所以，围绕某一点进行旋转变换，可以分成3个步骤，即首先将坐标原点移至该点，然后围绕新的坐标原点进行旋转变换，再然后将坐标原点移回到原先的坐标原点。

三、缩放变换

理论上而言，一个点是不存在什么缩放变换的，但考虑到所有图像都是由点组成，因此，如果图像在x轴和y轴方向分别放大k1和k2倍的话，那么图像中的所有点的x坐标和y坐标均会分别放大k1和k2倍，即

用矩阵表示就是：

缩放变换比较好理解，就不多说了。

四、错切变换

错切变换(skew)在数学上又称为Shear mapping(可译为“剪切变换”)或者Transvection(缩并)，它是一种比较特殊的线性变换。错切变换的效果就是让所有点的x坐标(或者y坐标)保持不变，而对应的y坐标(或者x坐标)则按比例发生平移，且平移的大小和该点到x轴(或y轴)的垂直距离成正比。错切变换，属于等面积变换，即一个形状在错切变换的前后，其面积是相等的。

比如下图，各点的y坐标保持不变，但其x坐标则按比例发生了平移。这种情况将水平错切。

下图各点的x坐标保持不变，但其y坐标则按比例发生了平移。这种情况叫垂直错切。

假定一个点经过错切变换后得到，对于水平错切而言，应该有如下关系：

用矩阵表示就是：

扩展到3 x 3的矩阵就是下面这样的形式：

同理，对于垂直错切，可以有：

在数学上严格的错切变换就是上面这样的。在Android中除了有上面说到的情况外，还可以同时进行水平、垂直错切，那么形式上就是：

五、对称变换

除了上面讲到的4中基本变换外，事实上，我们还可以利用Matrix，进行对称变换。所谓对称变换，就是经过变化后的图像和原图像是关于某个对称轴是对称的。比如，某点经过对称变换后得到，

如果对称轴是x轴，难么，

用矩阵表示就是：

如果对称轴是y轴，那么，

用矩阵表示就是：

如果对称轴是y = x，如图：

那么，

很容易可以解得：

用矩阵表示就是：

同样的道理，如果对称轴是y = -x，那么用矩阵表示就是：

特殊地，如果对称轴是y = kx，如下图：

那么，

很容易可解得：

用矩阵表示就是：

当k = 0时，即y = 0，也就是对称轴为x轴的情况；当k趋于无穷大时，即x = 0，也就是对称轴为y轴的情况；当k =1时，即y = x，也就是对称轴为y = x的情况；当k = -1时，即y = -x，也就是对称轴为y = -x的情况。不难验证，这和我们前面说到的4中具体情况是相吻合的。

如果对称轴是y = kx + b这样的情况，只需要在上面的基础上增加两次平移变换即可，即先将坐标原点移动到(0, b)，然后做上面的关于y = kx的对称变换，再然后将坐标原点移回到原来的坐标原点即可。用矩阵表示大致是这样的：

需要特别注意：在实际编程中，我们知道屏幕的y坐标的正向和数学中y坐标的正向刚好是相反的，所以在数学上y = x和屏幕上的y = -x才是真正的同一个东西，反之亦然。也就是说，如果要使图片在屏幕上看起来像按照数学意义上y = x对称，那么需使用这种转换：

要使图片在屏幕上看起来像按照数学意义上y = -x对称，那么需使用这种转换：

关于对称轴为y = kx 或y = kx + b的情况，同样需要考虑这方面的问题。

第二部分代码验证

在第一部分中讲到的各种图像变换的验证代码如下，一共列出了10种情况。如果要验证其中的某一种情况，只需将相应的代码反注释即可。试验中用到的图片：

其尺寸为162 x 251。

  1 <span style="font-size:13px;"></span><pre name="code" class="java">package com.pat.testtransformmatrix;  
  2   
  3 import android.app.Activity;  
  4 import android.content.Context;  
  5 import android.graphics.Bitmap;  
  6 import android.graphics.BitmapFactory;  
  7 import android.graphics.Canvas;  
  8 import android.graphics.Matrix;  
  9 import android.os.Bundle;  
 10 import android.util.Log;  
 11 import android.view.MotionEvent;  
 12 import android.view.View;  
 13 import android.view.Window;  
 14 import android.view.WindowManager;  
 15 import android.view.View.OnTouchListener;  
 16 import android.widget.ImageView;  
 17   
 18 public class TestTransformMatrixActivity extends Activity  
 19 implements  
 20 OnTouchListener  
 21 {  
 22     private TransformMatrixView view;  
 23     @Override  
 24     public void onCreate(Bundle savedInstanceState)  
 25     {  
 26         super.onCreate(savedInstanceState);  
 27         requestWindowFeature(Window.FEATURE_NO_TITLE);  
 28         this.getWindow().setFlags(WindowManager.LayoutParams.FLAG_FULLSCREEN, WindowManager.LayoutParams.FLAG_FULLSCREEN);  
 29   
 30         view = new TransformMatrixView(this);  
 31         view.setScaleType(ImageView.ScaleType.MATRIX);  
 32         view.setOnTouchListener(this);  
 33           
 34         setContentView(view);  
 35     }  
 36       
 37     class TransformMatrixView extends ImageView  
 38     {  
 39         private Bitmap bitmap;  
 40         private Matrix matrix;  
 41         public TransformMatrixView(Context context)  
 42         {  
 43             super(context);  
 44             bitmap = BitmapFactory.decodeResource(getResources(), R.drawable.sophie);  
 45             matrix = new Matrix();  
 46         }  
 47   
 48         @Override  
 49         protected void onDraw(Canvas canvas)  
 50         {  
 51             // 画出原图像  
 52             canvas.drawBitmap(bitmap, 0, 0, null);  
 53             // 画出变换后的图像  
 54             canvas.drawBitmap(bitmap, matrix, null);  
 55             super.onDraw(canvas);  
 56         }  
 57   
 58         @Override  
 59         public void setImageMatrix(Matrix matrix)  
 60         {  
 61             this.matrix.set(matrix);  
 62             super.setImageMatrix(matrix);  
 63         }  
 64           
 65         public Bitmap getImageBitmap()  
 66         {  
 67             return bitmap;  
 68         }  
 69     }  
 70   
 71     public boolean onTouch(View v, MotionEvent e)  
 72     {  
 73         if(e.getAction() == MotionEvent.ACTION_UP)  
 74         {  
 75             Matrix matrix = new Matrix();  
 76             // 输出图像的宽度和高度(162 x 251)  
 77             Log.e("TestTransformMatrixActivity", "image size: width x height = " +  view.getImageBitmap().getWidth() + " x " + view.getImageBitmap().getHeight());  
 78             // 1. 平移  
 79             matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth(), view.getImageBitmap().getHeight());  
 80             // 在x方向平移view.getImageBitmap().getWidth()，在y轴方向view.getImageBitmap().getHeight()  
 81             view.setImageMatrix(matrix);  
 82               
 83             // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
 84             float[] matrixValues = new float[9];  
 85             matrix.getValues(matrixValues);  
 86             for(int i = 0; i < 3; ++i)  
 87             {  
 88                 String temp = new String();  
 89                 for(int j = 0; j < 3; ++j)  
 90                 {  
 91                     temp += matrixValues[3 * i + j ] + "	";  
 92                 }  
 93                 Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
 94             }  
 95               
 96   
 97 //          // 2. 旋转(围绕图像的中心点)  
 98 //          matrix.setRotate(45f, view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);  
 99 //            
100 //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠  
101 //          matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth() * 1.5f, 0f);  
102 //          view.setImageMatrix(matrix);  
103 //  
104 //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
105 //          float[] matrixValues = new float[9];  
106 //          matrix.getValues(matrixValues);  
107 //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
108 //          {  
109 //              String temp = new String();  
110 //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
111 //              {  
112 //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "	";  
113 //              }  
114 //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
115 //          }  
116               
117               
118 //          // 3. 旋转(围绕坐标原点) + 平移(效果同2)  
119 //          matrix.setRotate(45f);  
120 //          matrix.preTranslate(-1f * view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f * view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);  
121 //          matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);  
122 //            
123 //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠  
124 //          matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth() * 1.5f, 0f);  
125 //          view.setImageMatrix(matrix);  
126 //            
127 //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
128 //          float[] matrixValues = new float[9];  
129 //          matrix.getValues(matrixValues);  
130 //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
131 //          {  
132 //              String temp = new String();  
133 //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
134 //              {  
135 //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "	";  
136 //              }  
137 //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
138 //          }             
139               
140 //          // 4. 缩放  
141 //          matrix.setScale(2f, 2f);  
142 //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
143 //          float[] matrixValues = new float[9];  
144 //          matrix.getValues(matrixValues);  
145 //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
146 //          {  
147 //              String temp = new String();  
148 //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
149 //              {  
150 //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "	";  
151 //              }  
152 //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
153 //          }  
154 //            
155 //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠  
156 //          matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth(), view.getImageBitmap().getHeight());  
157 //          view.setImageMatrix(matrix);  
158 //            
159 //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
160 //          matrixValues = new float[9];  
161 //          matrix.getValues(matrixValues);  
162 //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
163 //          {  
164 //              String temp = new String();  
165 //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
166 //              {  
167 //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "	";  
168 //              }  
169 //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
170 //          }  
171   
172               
173 //          // 5. 错切 - 水平  
174 //          matrix.setSkew(0.5f, 0f);  
175 //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
176 //          float[] matrixValues = new float[9];  
177 //          matrix.getValues(matrixValues);  
178 //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
179 //          {  
180 //              String temp = new String();  
181 //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
182 //              {  
183 //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "	";  
184 //              }  
185 //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
186 //          }  
187 //            
188 //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠           
189 //          matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth(), 0f);  
190 //          view.setImageMatrix(matrix);  
191 //            
192 //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
193 //          matrixValues = new float[9];  
194 //          matrix.getValues(matrixValues);  
195 //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
196 //          {  
197 //              String temp = new String();  
198 //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
199 //              {  
200 //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "	";  
201 //              }  
202 //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
203 //          }  
204               
205 //          // 6. 错切 - 垂直  
206 //          matrix.setSkew(0f, 0.5f);  
207 //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
208 //          float[] matrixValues = new float[9];  
209 //          matrix.getValues(matrixValues);  
210 //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
211 //          {  
212 //              String temp = new String();  
213 //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
214 //              {  
215 //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "	";  
216 //              }  
217 //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
218 //          }  
219 //            
220 //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠               
221 //          matrix.postTranslate(0f, view.getImageBitmap().getHeight());  
222 //          view.setImageMatrix(matrix);  
223 //            
224 //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
225 //          matrixValues = new float[9];  
226 //          matrix.getValues(matrixValues);  
227 //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
228 //          {  
229 //              String temp = new String();  
230 //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
231 //              {  
232 //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "	";  
233 //              }  
234 //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
235 //          }             
236               
237 //          7. 错切 - 水平 + 垂直  
238 //          matrix.setSkew(0.5f, 0.5f);  
239 //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
240 //          float[] matrixValues = new float[9];  
241 //          matrix.getValues(matrixValues);  
242 //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
243 //          {  
244 //              String temp = new String();  
245 //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
246 //              {  
247 //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "	";  
248 //              }  
249 //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
250 //          }  
251 //            
252 //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠               
253 //          matrix.postTranslate(0f, view.getImageBitmap().getHeight());  
254 //          view.setImageMatrix(matrix);  
255 //            
256 //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
257 //          matrixValues = new float[9];  
258 //          matrix.getValues(matrixValues);  
259 //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
260 //          {  
261 //              String temp = new String();  
262 //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
263 //              {  
264 //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "	";  
265 //              }  
266 //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
267 //          }  
268               
269 //          // 8. 对称 (水平对称)  
270 //          float matrix_values[] = {1f, 0f, 0f, 0f, -1f, 0f, 0f, 0f, 1f};  
271 //          matrix.setValues(matrix_values);  
272 //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
273 //          float[] matrixValues = new float[9];  
274 //          matrix.getValues(matrixValues);  
275 //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
276 //          {  
277 //              String temp = new String();  
278 //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
279 //              {  
280 //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "	";  
281 //              }  
282 //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
283 //          }  
284 //            
285 //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠   
286 //          matrix.postTranslate(0f, view.getImageBitmap().getHeight() * 2f);  
287 //          view.setImageMatrix(matrix);  
288 //            
289 //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
290 //          matrixValues = new float[9];  
291 //          matrix.getValues(matrixValues);  
292 //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
293 //          {  
294 //              String temp = new String();  
295 //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
296 //              {  
297 //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "	";  
298 //              }  
299 //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
300 //          }             
301               
302 //          // 9. 对称 - 垂直  
303 //          float matrix_values[] = {-1f, 0f, 0f, 0f, 1f, 0f, 0f, 0f, 1f};  
304 //          matrix.setValues(matrix_values);  
305 //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
306 //          float[] matrixValues = new float[9];  
307 //          matrix.getValues(matrixValues);  
308 //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
309 //          {  
310 //              String temp = new String();  
311 //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
312 //              {  
313 //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "	";  
314 //              }  
315 //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
316 //          }     
317 //            
318 //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠   
319 //          matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth() * 2f, 0f);  
320 //          view.setImageMatrix(matrix);  
321 //            
322 //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
323 //          matrixValues = new float[9];  
324 //          matrix.getValues(matrixValues);  
325 //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
326 //          {  
327 //              String temp = new String();  
328 //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
329 //              {  
330 //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "	";  
331 //              }  
332 //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
333 //          }  
334   
335               
336 //          // 10. 对称(对称轴为直线y = x)  
337 //          float matrix_values[] = {0f, -1f, 0f, -1f, 0f, 0f, 0f, 0f, 1f};  
338 //          matrix.setValues(matrix_values);  
339 //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
340 //          float[] matrixValues = new float[9];  
341 //          matrix.getValues(matrixValues);  
342 //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
343 //          {  
344 //              String temp = new String();  
345 //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
346 //              {  
347 //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "	";  
348 //              }  
349 //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
350 //          }  
351 //            
352 //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠               
353 //          matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getHeight() + view.getImageBitmap().getWidth(),   
354 //                  view.getImageBitmap().getHeight() + view.getImageBitmap().getWidth());  
355 //          view.setImageMatrix(matrix);  
356 //            
357 //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
358 //          matrixValues = new float[9];  
359 //          matrix.getValues(matrixValues);  
360 //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
361 //          {  
362 //              String temp = new String();  
363 //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
364 //              {  
365 //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "	";  
366 //              }  
367 //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
368 //          }  
369               
370             view.invalidate();  
371         }  
372         return true;  
373     }  
374 }

下面给出上述代码中，各种变换的具体结果及其对应的相关变换矩阵

1. 平移

输出的结果：

请对照第一部分中的“一、平移变换”所讲的情形，考察上述矩阵的正确性。

2. 旋转(围绕图像的中心点)

输出的结果：

它实际上是

matrix.setRotate(45f,view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth()* 1.5f, 0f);

这两条语句综合作用的结果。根据第一部分中“二、旋转变换”里面关于围绕某点旋转的公式，

matrix.setRotate(45f,view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

所产生的转换矩阵就是：

而matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth()* 1.5f, 0f);的意思就是在上述矩阵的左边再乘以下面的矩阵：

关于post是左乘这一点，我们在前面的理论部分曾经提及过，后面我们还会专门讨论这个问题。

所以它实际上就是：

出去计算上的精度误差，我们可以看到我们计算出来的结果，和程序直接输出的结果是一致的。

3. 旋转(围绕坐标原点旋转，在加上两次平移，效果同2)

根据第一部分中“二、旋转变换”里面关于围绕某点旋转的解释，不难知道：

matrix.setRotate(45f,view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

等价于

matrix.setRotate(45f);

matrix.preTranslate(-1f* view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f *view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth()/ 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

其中matrix.setRotate(45f)对应的矩阵是：

matrix.preTranslate(-1f* view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f * view.getImageBitmap().getHeight()/ 2f)对应的矩阵是：

由于是preTranslate，是先乘，也就是右乘，即它应该出现在matrix.setRotate(45f)所对应矩阵的右侧。

matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth()/ 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f)对应的矩阵是：

这次由于是postTranslate，是后乘，也就是左乘，即它应该出现在matrix.setRotate(45f)所对应矩阵的左侧。

所以综合起来，

matrix.setRotate(45f);

matrix.preTranslate(-1f* view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f *view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth()/ 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

对应的矩阵就是：

这和下面这个矩阵(围绕图像中心顺时针旋转45度)其实是一样的：

因此，此处变换后的图像和2中变换后的图像时一样的。

4. 缩放变换

程序所输出的两个矩阵分别是：

其中第二个矩阵，其实是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“三、缩放变换”和“一、平移变换”说法，自行验证结果。

5. 错切变换(水平错切)

代码所输出的两个矩阵分别是：

其中，第二个矩阵其实是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“四、错切变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

6. 错切变换(垂直错切)

代码所输出的两个矩阵分别是：

其中，第二个矩阵其实是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“四、错切变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

7. 错切变换(水平+垂直错切)

代码所输出的两个矩阵分别是：

其中，后者是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“四、错切变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

8. 对称变换(水平对称)

代码所输出的两个各矩阵分别是：

其中，后者是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“五、对称变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

9. 对称变换(垂直对称)

代码所输出的两个矩阵分别是：

其中，后者是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“五、对称变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

10. 对称变换(对称轴为直线y = x)

代码所输出的两个矩阵分别是：

其中，后者是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“五、对称变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

11. 关于先乘和后乘的问题

由于矩阵的乘法运算不满足交换律，我们在前面曾经多次提及先乘、后乘的问题，即先乘就是矩阵运算中右乘，后乘就是矩阵运算中的左乘。其实先乘、后乘的概念是针对变换操作的时间先后而言的，左乘、右乘是针对矩阵运算的左右位置而言的。以第一部分“二、旋转变换”中围绕某点旋转的情况为例：

越靠近原图像中像素的矩阵，越先乘，越远离原图像中像素的矩阵，越后乘。事实上，图像处理时，矩阵的运算是从右边往左边方向进行运算的。这就形成了越在右边的矩阵(右乘)，越先运算(先乘)，反之亦然。

当然，在实际中，如果首先指定了一个matrix，比如我们先setRotate()，即指定了上面变换矩阵中，中间的那个矩阵，那么后续的矩阵到底是pre还是post运算，都是相对这个中间矩阵而言的。