岭回归

Ridge regression 通过对系数的大小施加惩罚来解决普通最小二乘法的一些问题。岭回归系数最小化的是带惩罚项的残差平方和，数学形式如下：

$m i n \sum_{i = 1}^{p} ‖ X ω_{i} - y ‖^{2} + α ‖ ω ‖^{2}$

其中，α>= 0是一个控制缩减量（amount of shrinkage）的复杂度参数：α的值越大，缩减量就越大，故而线性模型的系数对共线性（collinearity）就越鲁棒。（L2正则化）换句话说，让各个特征对结果的影响尽可能的小，但也能拟合出不错的模型。

与普通最小二乘法一样，Ridge 会调用 fit 方法来拟合数组 X， y，并且将线性模型的系数 ω存储在其成员变量 coef_，截距存储在intercept_:

from sklearn.linear_model import Ridge

ridge = Ridge(alpha=.5)
ridge.fit([[0, 0], [0, 0], [1, 1]], [0, .1, 1])
print("coef: {}".format(ridge.coef_))
print("intercept: {:.2f}".format(ridge.intercept_))

coef: [0.34545455 0.34545455]
intercept: 0.14

%config InlineBackend.figure_format='svg' # 矢量图设置

下面用代码实现一个岭回归的案例

绘制岭回归系数作为正则化量的函数的曲线图

展示共线性（collinearity）对估计器系数的影响

这个例子中用到的模型是岭回归估计器（Ridge）。每种颜色表示系数向量的不同特征，并将其显示为正则化参数的函数。

此示例还显示了将岭回归应用于高度病态（ill-conditioned）矩阵的有效性。对于这样的矩阵，目标变量的微小变化会导致计算出的权重的巨大差异。在这种情况下，设置一定的正则化（alpha）来减少这种变化（噪声）是很有用的。

当alpha很大时，正则化效应将会主导（控制）平方损失函数，线性模型的系数也将趋于零。在路径的末尾，当alpha趋于零时，系数趋于没有设置正则化项的普通最小二乘法的系数，系数会出现很大的震荡（为高度病态矩阵）。

总共有10个系数，10条曲线，一一对应。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import Ridge

# X 是一个10x10的 希尔伯特矩阵（Hilbert matrix）（高度病态且正定）
X = 1. / (np.arange(1, 11) + np.arange(0, 10)[:, np.newaxis])
y = np.ones(10)

# 计算路径（Compute paths）
n_alphas = 200
alphas = np.logspace(-10, -2, n_alphas)

coefs = []
for a in alphas:
    ridge = Ridge(alpha=a, fit_intercept=False)  # 每个循环都要重新实例化一个estimator对象
    ridge.fit(X, y)
    coefs.append(ridge.coef_)
    
# 画图
ax = plt.gca()

ax.plot(alphas, coefs)
ax.set_xscale('log')
ax.set_xlim(ax.get_xlim()[::-1])  # 反转数轴，越靠左边alpha越大，正则化越强
plt.xlabel('alpha')
plt.ylabel('weights')
plt.title('Ridge coefficients as a function of the regulariization')
plt.axis('tight')

岭回归的时间复杂度与普通最小二乘法相同

设置正则化参数：广义交叉验证

RidgeCV 通过内置的 alpha 参数的交叉验证来实现岭回归。该对象与 GridSearchCV的使用方法相同，只是它默认为Generalized Cross-Validation（广义交叉验证GCV），这是一种有效的留以验证方法（LOO-CV）：

from sklearn.linear_model import RidgeCV

ridge_cv = RidgeCV(alphas=[0.1, 1.0, 10.0], cv=3)
ridge_cv.fit([[0, 0], [0, 0], [1, 1]], [0, .1, 1])
print("coef: {}".format(ridge_cv.coef_))
print("alpha: {}".format(ridge_cv.alpha_))

coef: [0.44186047 0.44186047]
alpha: 0.1