Dijkstra算法

Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

附个代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 using namespace std;
 5 
 6 const int maxn=99999;
 7 bool visit[101];//判断是否走过 
 8 int dis[101];//记录每条边的长度 
 9 int cmp[101][101],path[101];
10 int n,m,u,v,h,a,e,k;
11 int min1; 
12 
13 void sc(int s)
14 {
15     for(int i=1;i<=n;i++)
16     {
17         dis[i]=cmp[s][i];
18         if(dis[i]!=maxn)//记录路径
19         path[i]=s;
20         else
21         path[i]=0;
22     }
23     visit[s]=true;
24     dis[s]=0;
25     for(int i=1;i<=n-1;i++)//因为第一个数已确定，所以循环n-1次 
26     {
27         min1=maxn;
28         k=s;
29         for(int j=1;j<=n;j++)//查找最小值 
30         {
31             if(!visit[j]&&dis[j]<min1)
32             {
33                 min1=dis[j];
34                 k=j;
35             }
36         }
37         visit[k]=1;
38         for(int w=1;w<=n;w++)//寻找最短路径的长度 
39         {
40             if(!visit[w]&&dis[w]>cmp[k][w]+dis[k])
41             {
42                 dis[w]=cmp[k][w]+dis[k];
43                 path[w]=k;
44             }
45         } 
46     }
47     cout<<dis[e]<<endl;//输出最短距离 
48 }
49 
50 void out(int u,int v)
51 {
52     int que[101];
53     int tot=1;
54     que[tot]=v;
55     tot++;
56     int temp=path[v];
57     while(temp!=u)
58     {
59         que[tot]=temp;
60         tot++;
61         temp=path[temp];
62     }
63     que[tot]=u;
64     for(int i=tot;i>=1;i--)
65     {
66         if(i!=1)
67         cout<<que[i]<<"-->";
68         else
69         cout<<que[i]<<endl;
70     }
71 }
72 
73 int main()
74 {
75     cin>>n>>m;
76     for(int i=1;i<=m;i++)//初始化
77        for(int j=1;j<=m;j++)
78         cmp[i][j]=maxn;
79         /*memset(cmp,maxn,sizeof(cmp));*/
80     for(int i=1;i<=m;i++)
81     {
82         cin>>u>>v>>h;
83         cmp[u][v]=cmp[v][u]=h;//无向图，可逆 
84     }
85     for(int i=1;i<=m;i++)//初始化
86         dis[i]=maxn;
87     cin>>a>>e;
88     sc(a);
89     out(a,e);
90     return 0;
91 }