信号与系统05 拉普拉斯变换

1. 拉普拉斯变换

1. 拉普拉斯变换

1.1. 定义

1.1.1. 计算公式

[egin{aligned} F(s) &= int_{-infty}^{infty} f(t) e^{-st} dt\ f(t) &= frac{1}{2pi j} int_{sigma - jinfty}^{sigma + jinfty} F(s) e^{st} ds end{aligned} ]

其中，(s) 是一个复数，可以写为 (s = sigma + jw)；
(f(t)e^{-st} = f(t)e^{-sigma t} cdot e^{-jwt})，有点类似对 (f(t)e^{-sigma t}) 进行傅氏变换。

1.1.2. 收敛域的计算

因为增加了一个收敛因子 (e^{-sigma t}) ，只要找到合适的 (sigma) 就可以使得 (f(t)e^{-sigma t}) 绝对收敛，即

[displaystylelim_{t o pm infty} f(t) e^{-sigma t} = 0 ]

满足此式的 (s) 值的范围内称为拉氏变换的收敛域。

主要分为 4 种情况：右边信号，左边信号，双边信号，时限信号；

右边信号

右边信号的收敛域往往包含复平面的右半面，（非严谨）证明如下：

对于右边信号，当 (t < t_0) 有 (f(t) equiv 0)，始终满足

[forall sigma in R, lim_{t o -infty} f(t) e^{-sigma t} = 0 ]
因此只需要考虑趋于正无穷的情况；

当 (t ge t_0) 时，假设 (sigma_0) 使得 (f(t)e^{-sigma t}) 绝对收敛。令 (sigma_1 > sigma_0)，由于 (e^{-sigma_1 t}) 的收敛速度((t o +infty))比 (e^{-sigma_0 t}) 更快，所以 (sigma_1 > sigma_0) 也能使得 (f(t)e^{-sigma t}) 绝对收敛，即对于右边信号，如果在一个点上收敛，则这个点的右边所有点均收敛。
左边信号

左边信号的收敛域往往包含复平面的左半边，证明过程也是类似的。

当 (t le t_0) 时，假设 (sigma_0) 使得 (f(t)e^{-sigma t}) 绝对收敛。令 (sigma_2 < sigma_0)，由于 (e^{-sigma_2 t}) 的收敛速度((t o -infty))比 (e^{-sigma_0 t}) 更快，所以 (sigma_2 < sigma_0) 也能使得 (f(t)e^{-sigma t}) 绝对收敛，即对于左边信号，如果在一个点上收敛，则这个点的左边所有点均收敛。
双边信号

双边信号的收敛域为带状或不存在。

双边信号可以分解为左边信号和右边信号，当且仅当左边信号和右边信号的收敛域存在交集时，双边信号才存在拉氏变换。
时限信号

实现信号的收敛域为整个复平面。对于时限信号，有

[lim_{t o pm infty} f(t) = 0 ]
所以有

[forall sigma in R, lim_{t o pm infty} f(t) e^{-sigma t}= 0 ]
典型的时限信号有：(delta(t))，(G_{ au}(t)) 等

1.1.3. 拉氏变换与傅氏变换的关系

根据收敛域分为 3 种情况：

收敛域包含虚轴

拉氏变换与傅氏变换满足：(F(jw) = F(s)|_{s=jw})
收敛域以虚轴为界

拉氏变换与傅氏变换无明显关系 (F(jw) ot = F(s)|_{s=jw})，例如 (u(t)) 的拉氏变换为 (frac{1}{s})，其傅氏变换为 (frac{1}{jw} + pi delta(w))。
收敛域不包含虚轴

只存在的拉氏变换，不存在傅氏变换。

1.2. 性质

1.2.1. 线性

[mathscr{L}[af_1(t) + bf_2(t)] = aF_1(s) + bF_2(s) ]

1.2.2. 时移

[mathscr{L}[f(t)u(t)] = F(s),\mathscr{L}[f(t-t_0)u(t-t_0)] = F(s)e^{-st_0} ]

1.2.3. 复频移

[mathscr{L}[f(t)e^{s_0t}] = F(s-s_0) ]

1.2.4. 尺度变换

[mathscr{L}[f(at)] = frac{1}{a}F(frac{s}{a}), a > 0 ]

1.2.5. 时域微分特性

[mathscr{L}[displaystylefrac{d f(t)}{dt}] = sF(s) - f(0^-),\ mathscr{L}[displaystylefrac{d^2 f(t)}{dt^2}] = s^2F(s) - sf(0^-) - sf'(0^-)\ ]

1.2.6. (s) 域微分特性

[mathscr{L}[(-t)f(t)] = frac{dF(s)}{ds} ]

1.2.7. 时域积分特性

[mathscr{L}left[int_{-infty}^{t} f( au) d au ight] = frac{F(s)}{s} + frac{f^{-1}(0)}{s} ]

1.2.8. (s) 域积分特性

[mathscr{L}left[frac{f(t)}{t} ight] = int_{s}^{+infty} F(s_1) ds_1 ]

1.2.9. 时域卷积定理

[mathscr{L}[f(t)*g(t)] = F(s)G(s) ]

1.2.10. 初值定理

[displaystylelim_{s o +infty}scdot F(s) = f(0^+) ]

初值定理要求：

(f(t)) 连续可导；
不包含任何阶次的冲激函数；
(F(s)) 是真有理分式

1.2.11. 终值定理

[displaystylelim_{s o 0} s cdot F(s) = f(+infty) ]

终值定理要求： (x(t)) 的终值存在，即 (X(s)) 的极点在左半 (s) 平面

1.3. 常见的拉氏变换对

1.3.1. 直流或正幂项

冲激信号

[mathscr{L}[delta(t)] = 1, sigma in R ]

冲激偶信号
[mathscr{L}[delta'(t)]=s, sigma in R ]

1.3.2. 单根极点

阶跃信号

[mathscr{L}[u(t)] = frac{1}{s}, sigma > 0 ]
单边指数信号

[mathscr{L}[e^{at}u(t)] = frac{1}{s-a}, sigma>a,\mathscr{L}[e^{at}u(-t)] = -frac{1}{s-a}, sigma<a ]
双边指数信号

[mathscr{L}[e^{-a|t|}] = frac{2a}{a^2-s^2}, sigmain(-a,a) ]

1.3.3. 共轭复根极点

正弦信号
[displaystylemathscr{L}[sin(w_0 t)u(t)] = frac{w_0}{s^2 + w_0^2}, sigma > 0 ]
余弦信号
[displaystylemathscr{L}[cos(w_0 t)u(t)] = frac{s}{s^2 + w_0^2}, sigma > 0 ]
正弦衰减信号
[displaystylemathscr{L}[e^{at}sin(w_0 t)u(t)] = frac{w_0}{(s-a)^2 + w_0^2}, sigma > a ]
余弦衰减信号
[displaystylemathscr{L}[e^{at}cos(w_0 t)u(t)] = frac{s-a}{(s-a)^2 + w_0^2}, sigma > a ]

1.3.4. 重根极点

斜变信号
[displaystylemathscr{L}[tu(t)] = frac{1}{s^2}, sigma > 0 ]
高阶斜变信号
[displaystylemathscr{L}left[frac{t^n}{n!} u(t) ight] = frac{1}{s^{n+1}}, sigma > 0 ]
斜变衰减信号
[displaystylemathscr{L}left[frac{t^n}{n!} e^{at} u(t) ight] = frac{1}{(s-a)^{n+1}}, sigma > a ]

1.3.5. 周期极点

周期冲激信号
[displaystylemathscr{L}left[sum_{n=0}^{+infty}delta(t - nT) ight] = frac{1}{1 - e^{-sT}}, sigma ot = 0 ]

对于有理分式，求解拉氏逆变换最常用的方式是部分分式分解法。一个有理分式可以表示为

[H(s) = frac{B(s)}{A(s)} = frac{displaystylesum_{n=0}^{N} b_n s^n}{displaystylesum_{m=0}^{M} a_m s^m}]

部分分式分解建立在极点分解的基础。极点即是分母 (A(s)) 的根，它有三中类型，即单根极点、共轭复根极点和重根极点，根据三种极点类型，该分式可以分解为

[H(s) = sum_{i} frac{A_i}{s-p_i} + sum_{j} frac{B_j s + C_j}{(s+alpha_j)^2 + eta_j^2} + sum_{m} sum_{r=1}^{k} frac{D_r}{(s-p_m)^r} ]

其中，

(p_i) 是单根极点，对应的是阶跃信号、指数信号的变换式；
(alpha_j pm j eta_j) 是共轭复根极点，对应的是正弦信号和正弦衰减信号的变换式；
(p_m) 是 (k) 阶重根极点，对应的是斜变信号以及和斜变信号相乘的信号的变换式；
若有理分式为假分式，则可能存在直流项或正幂次项，对应的是冲激信号或高阶冲激信号。

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