部分分式展开
部分分式展开的步骤主要为：
- 判断有理分式是否为假分式，若是则将其化为真分式。
有理分式
[defMY#1#2{ #1_{#2} x^{#2}} F(x) = frac{N(x)}{D(x)}= frac{ MY{b}{m} + MY{b}{m-1} + cdots MY{b}{1} + MY{b}{0}}{x^n + MY{a}{n-1} + cdots MY{a}{1} + MY{a}{0}} ]若分子 (N(x)) 的最高次幂大于等于分母 (D(x)) 的最高次幂，则 (F(x)) 为假分式。
【例】[egin{aligned} F(x) &= frac{2x^4 + 3x^3 + x^2 + 2x}{x^2 + 4x + 3}\ &= 2x^2 - 5x + 15 - frac{43x+45}{x^2 + 4x + 3} end{aligned} ]
- 假设 (F(x)) 是假分式，对分母 (D(x)) 进行因式分解，因子可分为3中情况：单根，重根，复根。
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单根
[defMY#1{(x-x_{#1})} defMYS#1{frac{k_{#1}}{x-x_{#1}}} egin{aligned} F(x) &= frac{N(x)}{MY{1}MY{2}cdotsMY{n}}\ &= MYS{1} + MYS{2} + cdots MYS{n} end{aligned} ]其中，(k_i = F(x)(x-x_i) |_{x=x_i})。
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重根
[egin{aligned} F(x) &= frac{N(x)}{(x-x_1)^r(x-x_{r+1})cdots(x-x_n)}\ &= left[frac{a_0}{(x-x_1)^r} + frac{a_1}{(x-x_1)^{r-1}} + cdots + frac{a_{r-1}}{x-x_1} ight]+ left( frac{k_{r+1}}{x-x_{r+1}} + cdots + frac{k_{n}}{x-x_{n}} ight) end{aligned} ]其中，从分式累加的形式可以推导出各个分式的系数：
[egin{aligned} a_0 &= F(x)(x-x_1)^r|_{x=x_1}\ a_1 &= frac{mathrm{d}[F(x)(x-x_1)^r]}{mathrm{d}x}|_{x=x_1}\ a_2 &= frac{1}{2!}frac{mathrm{d}^2[F(x)(x-x_1)^r]}{mathrm{d}^2x}|_{x=x_1}\ &cdots\ a_{r-1} &= frac{1}{(r-1)!}frac{mathrm{d}^{r-1}[F(x)(x-x_1)^r]}{mathrm{d}^{r-1}x}|_{x=x_1} end{aligned} ] -
复根
若分母的因子中存在复根，复根总是共轭成对出现的，因此可以当做单根来进行处理。另外就是复根的系数也是共轭对称的，即
[egin{aligned} F(x) &= frac{N(x)}{(x-x_1)(x-x_1^*)}\ &= frac{k_1}{x-x_1} + frac{k_1^*}{x-x_1^*} end{aligned} ]为避免复根，还可以将共轭复根只分解到二次因式的形式，如
[egin{aligned} F(x) &= frac{N(x)}{[(x+a)^2+b^2] (x-x_3) }\ &= frac{Ax+B}{(x+a)^2+b^2} + frac{k_3}{x-x_3} end{aligned} ]其中，单根的系数 (k_3) 求法同上。
对于二次因式的系数，求法需要一定的技巧性，
如上式中，求解出 (k_3) 后，令 (x=0)，得 (F(0)=frac{B}{b^2}-frac{k_3}{x_3}) 求解出的 (B)，再令 (x = +infty)，求解出 (A)。
【例题】
[egin{aligned}
f(x) &= frac{x^2}{(x-1)^2}\
&= frac{(x-1)^2 + 2x - 1}{(x-1)^2}\
&= 1 + frac{2x-1}{(x-1)^2}\
&= 1 + frac{A}{(x-1)^2} + frac{B}{x-1}\
A &= (2x-1)|_{x=1} = 1, \
B &= frac{d(2x-1)}{dx}|_{x=1} = 2\
f(x) &= 1 + frac{1}{(x-1)^2} + frac{2}{x-1}
end{aligned}
]