信号与系统03 连续时间的傅里叶变换

1. 连续时间的傅里叶变换

1. 连续时间的傅里叶变换

1.1. 周期信号的傅里叶级数 CTFS

1.1.1. 展开的条件

在正余弦信号集和虚指数信号集上可以精准正交分解的信号 (f(t)) 应满足 Dirichlet 条件（狄利克雷条件）:

在一个周期内，(f(t)) 绝对可积，即 (displaystyle int_{t_0}^{t_0+T}|f(t)|dt < infty)
在一个周期内，(f(t)) 只能有有有限个极大值或极小值
在一个周期内，(f(t)) 只能有有限个间断点且不能是瑕点（函数值为无穷）

1.1.2. 计算公式

三角形式的傅里叶级数

[ egin{aligned} a_0 &= displaystylefrac{1}{T} int_{t_0}^{t_0+T} f(t) dt\ a_n &= displaystylefrac{2}{T} int_{t_0}^{t_0+T} f(t) cos (nOmega t) dt\ b_n &= displaystylefrac{2}{T} int_{t_0}^{t_0+T} f(t) sin (nOmega t) dt\ f(t) &= a_0 + sum_{n=1}^{+infty} [ a_n cos(nOmega t) + b_n sin(nOmega t) ] end{aligned} ]

【注意】

基频 (Omega = 2pi / T)
对于三角形式的傅里叶级数，(n) 只能取正整数
三角形式的傅里叶级数也称为单边谱，(a_n)，(b_n) 与单边谱 (F_n) 多了个系数 2

指数形式的傅里叶级数

[egin{aligned} F_n &= frac{1}{T} int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-jnOmega t} dt\ f(t) &= sum_{n=-infty}^{+infty} F_n e^{jnomega t} end{aligned} ]

【注意】

指数形式的傅里叶级数也称为的单边谱，(n) 取任意整数
(F_n) 一般是个复数 (F_n = |F_n| e^{jphi_n})

三角形式或指数形式傅里叶变换的关系

[egin{aligned} &egin{cases} a_n = F_n + F_{-n}\ b_n = F_n - F_{-n}\ end{cases} \ &egin{cases} F_n &= frac{1}{2} (a_n - j b_n)\ F_{-n} &= frac{1}{2} (a_n + j b_n)\ |F_n| &= frac{1}{2} sqrt{a_n^2 + b_n^2}\ phi_n &= arctan frac{b_n}{a_n} end{cases} end{aligned} ]

1.1.3. 周期信号的频谱分析

波形对称性与谐波特性的关系

周期偶信号

对于三角形式的傅里叶级数，只存在余弦项 (a_n)；
对于指数形式的傅里叶级数，(F_n) 为纯实数；
反推亦成立！
周期奇信号

对于三角形式的傅里叶级数，只存在正弦项 (b_n)；
对于指数新式的傅里叶级数，(F_n) 为纯虚数；
反推亦成立！
奇谐信号

奇谐信号是指信号平移半个周期 (T/2) 后，与原信号相加为0的信号，即 (f(t) + f(t pm T) = 0)；
奇谐信号的的傅里叶级数只含有奇次谐波项；
反推亦成立！
偶谐信号

偶谐信号是指信号平移半个周期 (T/2) 后，与原信号相同的信号，即 (f(t) = f(t + frac{T}{2}))；
奇谐信号的傅里叶级数只含有由此谐波项；
反推亦成立！

【例】

偶信号+奇谐信号	奇信号+奇谐信号	奇谐信号

频谱结构与波形参数的关系

时域越宽，频域越窄，典型的例子就是“直流信号的频谱是单位冲激，单位冲激的频谱是直流”；

对于周期信号，周期越大，谱线间的间隔 (Omega = 2pi/ T) 越小；

周期信号的平均功率

[egin{aligned} P &= frac{1}{T}int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}} |f(t)|^2 dt\ &= frac{1}{T}int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}} f(t)f^*(t) dt = frac{1}{T}int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}} f(t) left(sum_{n=-infty}^{+infty} F_n e^{jnOmega t} ight)^* dt\ &= sum_{n=-infty}^{+infty} F^*_n left( frac{1}{T} int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}} f(t) e^{-jnOmega t} ight)\ &= sum_{n=-infty}^{infty} F_n^* F_n = sum_{n=-infty}^{infty} |F_n|^2\ &= a_0^2 + frac{1}{2}sum_{n=1}^{+infty} (a_{n}^2 + b_n^2) end{aligned} ]

上式为功率有限信号的巴什瓦等式，其物理意义：周期信号的平均功率等于直流分量及各次谐波平均功率之和（能量守恒）。

1.2. 非周期信号的傅里叶变换 CTFT

1.2.1. 计算公式

[egin{aligned} F(jw) &= int_{-infty}^{infty} f(t) e^{-jwt} dt\ f(t) &= frac{1}{2pi} int_{-infty}^{infty} F(jw) e^{jwt} dw end{aligned} ]

1.2.2. 性质

唯一性

信号和频谱是一一对应的。
线性

[f_1(t) leftrightarrow F_1(jw), f_2(t) leftrightarrow F_2(jw)\ af_1(t) + bf_2(t) leftrightarrow aF_1(jw) + bF_2(jw) ]
奇偶不变性

傅里叶变化不改变信号的奇偶性，即(F(jw))与(f(t))的奇偶性是相同的。
共轭特性

[f(t) leftrightarrow F(jw) \ f^*(t) leftrightarrow F^*(-jw) ]
写成相量的形式，即

[F(jw) = |F(jw)| e^{j varphi (w)} \ F(-jw) = |F(-jw)| e^{j varphi (-w)} \ F^*(-jw) = |F(-jw)| e^{- j varphi (-w)} ]
如果(f(t))是实信号，则(f(t) = f^*(t))，再由傅里叶的唯一性，则(F(jw) = F^*(-jw))。所以：实信号幅度双边谱是偶函数，相位双边谱是奇函数，即

[|F(jw)| = |F(-jw)| \ jvarphi (w) = - jvarphi (-w) ]
所以实偶信号的频谱为实偶函数，实奇信号的频谱为虚奇函数。
对称性

[f(t) leftrightarrow F(jw) \ F(jt) leftrightarrow 2pi f(- omega) ]

经典应用： (Sa(w_c t))的频谱；(f(t) = 1)`的频谱。
时域展缩性

[f(t) leftrightarrow F(jw) \ f(at) leftrightarrow frac{1}{|a|}F(jfrac{w}{a}) ]
时移，频移特性

时移特性 对应信号的延迟，不改变幅频特性。

[f(t) leftrightarrow F(jw) \ f(t - t_0) leftrightarrow F(jw)e^{-jwt_0} ]
频移特性 频移体现了调制、解调、变频等信号操作。

[f(t) leftrightarrow F(jw) \ f(t)e^{jw_0t} leftrightarrow F[j(w - w_0)] ]
【易错点】
- 时移的相位符号，记住延迟后的相位总是落后（所以是减而不是加）与原信号
- 频移的频率符号，由于调制后的信号增加了频率，因此频谱整体向右/高频（所以是减而不是加）移动
【例】

[delta(t - t_0);\ G_ au (t - frac{ au}{2});\ e^{jw_0 t};\ cos(w_0 t) = frac{1}{2}(e^{jw_0t} + e^{-jw_0t});\ sin(w_0 t) = frac{1}{2j}(e^{jw_0t} - e^{-jw_0t});\ ]
时域 / 频域微分特性

时域微分特性

[f(t) leftrightarrow F(jw)\ frac{mathrm{d} f(t)}{mathrm{dt}} leftrightarrow jw F(jw)\ frac{mathrm{d^n} f(t)}{mathrm{dt^n}} leftrightarrow (jw)^n F(jw) ]
频域微分特性

[f(t) leftrightarrow F(jw)\ (-t)f(t) leftrightarrow frac{mathrm{d}F(jw)}{mathrm{d(jw)}}\ tf(t) leftrightarrow j frac{mathrm{d}F(jw)}{mathrm{dw}}\ t^nf(t) leftrightarrow j^n frac{mathrm{d^n}}{mathrm{dw^n}}F(jw) ]
【说明】
- 时域的微分运算可以转换为频域的乘法运算，乘法因子为 (jw)
- 频域的微分运算可以转换为时域的乘法运算，乘法因子为 (-t)，注意的频域的微分运算是对 (jw)的求导
- 幂函数和冲激函数、求导运算很有关联，类似 (t^n) 、((jw)^n)、(delta^{(n)}(t))、(delta^{(n)}(w))
【例】

[1 leftrightarrow 2pi delta(w) Rightarrow t imes 1 leftrightarrow j imes 2pi delta^{'}(w) Rightarrow 2pi delta(w)\ u(t) leftrightarrow pidelta(w) + frac{1}{jw} Rightarrow tu(t) leftrightarrow j(pi delta^{'}(w) - frac{1}{jw^2}) Rightarrow jpi delta^{'}(w) - frac{1}{w^2}\ sgn(t) leftrightarrow frac{2}{jw} Rightarrow |t| = t sgn(t) leftrightarrow j(frac{2}{jw})^{'} = - frac{2}{w^2}\ e^{-at}u(t) leftrightarrow frac{1}{a + jw} Rightarrow te^{-at}u(t) leftrightarrow frac{1}{(a + jw)^2} ]

【易错题】
已知 (f(t) leftrightarrow F(jw))，求 ((-t)f(-t)) 的傅里叶变换?
正解：

[egin{aligned} tf(t) &leftrightarrow jfrac{dF(jw)}{dw}\ -tf(-t) &leftrightarrow jfrac{dF(-jw)}{d(-w)} = -jfrac{dF(-jw)}{d(w)} end{aligned} ]
错解：

[egin{aligned} tf(t) &leftrightarrow jfrac{dF(jw)}{dw}\ -tf(-t) &leftrightarrow jfrac{dF(-jw)}{dw} = jfrac{dF(-jw)}{dw} end{aligned} ]
设 (g(t) = tf(t))，则 (g(-t)=(-t)f(-t))，根据时域展缩特性应该有 (g(t)leftrightarrow G(jw))，(g(-t)leftrightarrow G(-jw))，对于微分运算若有(f(t)=frac{dg(t)}{dt})，则(f(2t)=frac{dg(2t)}{d(2t)})（推导戳我），所以第一种解法是正确的。
时域 / 频域卷积定理

[f_1(t) * f_2(t) leftrightarrow F_1(jw)F_2(jw)\ f_1(t)cdot f_2(t) leftrightarrow frac{1}{2 pi} F_1(jw) * F_2(jw) ]
【注】频域卷积定理勿忘 (frac{1}{2pi})
时域积分定理

[int_{-infty}^{t}f( au)d au leftrightarrow frac{F(jw)}{jw} + pi F(0)delta(w)，其中F(0) = F(jw)|_{w = 0} = int_{-infty}^{+infty}f(t)dt ]
可以理解为 (f(t)) 经过一个积分器，即

[f(t) * u(t) leftrightarrow F(jw) cdot (frac{1}{jw} + pi delta(w)) ]
能量有限的巴什瓦等式

[int_{-infty}^{+infty}|f(t)|^2dt = frac{1}{2pi}int_{-infty}^{+infty}|F(jw)|^2 dw ]
【注】请勿忘 (frac{1}{2pi})

1.2.3. 常见的傅里叶变换对

半边指数信号

[e^{-at}u(t) leftrightarrow frac{1}{a + jw}, a > 0 ]

矩形脉冲信号

[G_{ au}(t) leftrightarrow au Sa(frac{w au}{2}) ]

冲激信号

[delta(t) leftrightarrow 1 ]

单位直流信号

[1 leftrightarrow 2pi delta(omega) ]

阶跃信号

[u(t) leftrightarrow pi delta(omega) + frac{1}{jw} ]

符号信号(sgn(t))

[sgn(t) leftrightarrow frac{2}{jw} ]

对称的双边指数信号

[e^{-a|t|} leftrightarrow frac{2a}{a^2 + w^2} ]

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1.3. 周期信号的傅里叶变换

1.3.1. 公式推导

周期信号的傅里叶变换为一系列冲激函数的线性组合，冲激的发生在各次谐波频率上，强度为相应谐波分量复振幅的 (2pi) 倍。

[egin{aligned} f_{_T}(t) &= sum_{n=-infty}^{infty} F_n e^{jnfrac{2pi}{T}t}\ 1 &leftrightarrow 2pi delta(w)\ e^{jnfrac{2pi}{T}t} &leftrightarrow 2pi delta(w - nfrac{2pi}{T}) end{aligned} ]

令 (F_{_T}(t)) 的傅里叶变换为 (F_{_T}(jw))，则

[egin{aligned} F_{_T} &= mathscr{F}[sum_{n=-infty}^{infty} F_n e^{jnfrac{2pi}{T}t}]\ &= sum_{n=-infty}^{infty} F_n mathscr{F}[e^{jnfrac{2pi}{T}t}]\ &= sum_{n=-infty}^{infty} F_n 2pi delta(w - nfrac{2pi}{T})\ &= sum_{n=-infty}^{infty} 2pi F_n delta(w - nfrac{2pi}{T}) end{aligned} ]

周期函数还可以表示为

[f_{_T}(t) = sum_{n=-infty}^{infty} f(t-nT) = f(t) * delta_{_T}(t) ]

其中，(displaystyledelta_{_T}(t) = sum_{n=-infty}^{infty} delta(t - nT))，且 (mathscr{F}[delta_T(t)]=Omega delta_{_Omega}(w))，则周期信号的傅里叶变换还可以表示为

[egin{aligned} mathscr{F}[f_{_T}(t)] &= F(jw) cdot Omega delta_{_Omega}(w)\ &= F(jw) cdot Omega sum_{n=-infty}^{infty} delta(w - nOmega)\ &= sum_{n=-infty}^{infty} Omega F(jnOmega) delta(w - nOmega) end{aligned} ]

【说明】

在时域上将 (f(t)) 的波形进行以 (T) 为周期的延拓，等效于在频域上对其频谱进行以 (Omega = frac{2pi}{T}) 为周期的等距离采样。
为做区分，将周期信号的傅里叶级数记为 (a_k)，则其傅里叶变换的关系为 (a_k = frac{1}{T} F(jkfrac{2pi}{T}))

1.3.2. 将周期信号进行时域压缩扩展

设 (f(t)) 为周期为 (T_1) 的周期信号，傅里叶变换为(F(jw))；
对 (f(t)) 进行时域的扩展为 (f(2t))，显然它也是一个周期信号，但周期变为 (T_2=frac{T_1}{2}) （关键）；

则 (f(2t)) 的傅里叶变换为 (F_2(jw) = frac{w}{2}F(jfrac{w}{2}))

考虑时域压缩前后的傅里叶级数：

[egin{aligned} a_k &= frac{1}{T_1} F(jw)|_{w=kfrac{2pi}{T_1}}\ &= frac{1}{T_1} F_1(j kfrac{2pi}{T_1} )\ a'_k &= frac{1}{T_2} F_2(jw)|_{w=kfrac{2pi}{T_2}}\ &= frac{2}{T_1} cdot frac{1}{2} F_1(jfrac{w}{2})|_{w=kfrac{2pi}{T_1/2}}\ &= frac{1}{T_1} F_1(j kfrac{2pi}{T_1} ) end{aligned} ]

两者竟然是一致的！这说明不同周期信号可能对应同一傅里叶级数。