傅里叶变换相关公式

在学习高数的时候，就接触了傅里叶变换。也就记得是将一些周期函数表示成一系列三角函数的叠加，不是很理解这个变换的具体意义，就是觉的挺神奇的，可以求一些特殊的积分什么之类的。
到了学习信号与系统的时候，离散序列也可以傅里叶变换，还有一个叫离散傅里叶变换，那时学得很草，考完试之后都混在一起，不知道谁是谁了。

关于什么是傅里叶变化，网上有很多大佬写的很好。这里我也不打算科普（毕竟墨水不多，想吐也吐不出来），主要目的还是方便自己日后复习，省去翻书查看公式。

粗略地介绍下，傅里叶转化具体可以包含3个大类：

  1. CTFS和CTFT 连续（C）时间（T）傅里叶（F）系数（S）/ 变换（T）
  2. DTFS和DTFT 离散（D）时间（T）傅里叶（F）系数（S）/ 变换（T）
  3. DFS和DFT 离散（D）傅里叶（F）系数（S）/ 变换（T）

这些英文缩写值得记忆的，也能够帮助我们好好理解。

目录

连续时间傅里叶系数/变换

周期的连续信号的CTFS

对象：连续的周期信号(f(t))，同时得满足Dirichlet条件[1]
表达公式：

  • 三角形式（高数学的）

[egin{aligned} f(t) &= a_0 + sum_{k=1}^{infty}(a_n cos{kOmega t}+b_nsin{kOmega t})\ a_0 &= frac{1}{T} int_{-T/2}^{T/2}f(t)dt\ a_k &= 2cdotfrac{1}{T}int_{-T/2}^{T/2}f(t)cos{nOmega t}dt\ b_k &= 2cdotfrac{1}{T}int_{-T/2}^{T/2}{f(t)sin{nOmega t}}dt\ end{aligned} ]

  • 复指数形式（更加通用形式）

    [egin{aligned} f(t) &= sum_{n=-infty}^{infty}F_n e^{jnOmega t}\ F_n &= frac{1}{T}int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jnOmega t}dt\ end{aligned} ]

    两种形式可以相互转化，当(n > 0)的时候，(F_n = frac{1}{2}(a_n - jb_n))；当(-n < 0)时，(F_{-n} = frac{1}{2}(a_n + jb_n))。此式当(n=0)时(F_0 = a_0)。

非周期的连续信号的CTFT

对象：非周期的连续信号，同样得满足Dirichlet条件
表达公式：
设对一个非周期的连续信号(f(t))的DTFT记为(mathscr F[f(t)])，则有

[egin{aligned} F(w)=mathscr{F}[f(t)] &= int_{-infty}^{infty} f(t) e^{-jwt} dt\ mathscr{F}^{-1}[F(w)] &= frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty} F(w)e^{jwt}dw end{aligned} ]

推导：
基本的思路是用一个周期无限长的信号来代替非周期信号，当周期足够长时可以忽略这种近似带来的影响。

  1. 假设(f(t))是一个有限的连续非周期信号，对它进行一个周期延拓得到一个周期函数({f_T(t)})；

  2. 对({f_T(t)})进行DTFS，有(displaystyle f_T(t) = sum_{n=-infty}^{infty}F_n e^{jnOmega t})，而(displaystyle F_n = frac{1}{T}int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jnOmega t}dt=frac{1}{T}F(nOmega))；

  3. 当(T o +infty)时，这种用”无限的周期信号“近似代替”有限的非周期信号“的影响就会越小，此时(Omega=frac{2 pi}{T} o 0)，可记为一个微分(Delta w)，同时(nDelta w)可以看出一个连续量(w)，累加运算转化为积分运算，于是有

    [egin{aligned} f(t) &= lim_{T o +infty} f_T(t)\ &= lim_{T o +infty} sum_{n=-infty}^{infty}F_n e^{jnOmega t}\ &= lim_{T o +infty} sum_{n=-infty}^{infty} frac{Delta w}{2pi}F(nDelta w) e^{jDelta w t}\ &= frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty} F(w)e^{jwt}dw\ F(w) &= lim_{T o +infty} int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jnOmega t}dt\ &= lim_{T o +infty} int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-jwt} dt\ &= int_{-infty}^{infty} f(t) e^{-jwt} dt\ end{aligned} ]

也就是说，求一个信号(f(t))的频谱(F(w))，实际上与频率/旋转因子(e^{-jwt})做一个积分，积分对象是时域上的(t)；反变换同样也是一个积分，积分对象是频域上的(w)。

周期信号的DTFT
周期信号的DTFT的推导需要用到一个傅里叶变换对(mathscr F(e^{jw_0t})=2pi delta(w-w_0))，则有

[egin{aligned} mathscr{F}[f_T(t)] &= mathscr{F}Big( sum_{n=-infty}^{infty}F_n e^{jnOmega t}Big)\ &= sum_{n=-infty}^{infty}F_n mathscr{F}(e^{jnOmega t})\ &= 2pi sum_{n=-infty}^{infty}F_n delta(w-nfrac{2pi}{T}) end{aligned} ]

可见，有周期的连续信号在频域上是一系列的冲激函数之和，即在频域上是离散的。

离散时间傅里叶系数/变换

周期序列的DTFS

对象：周期的离散序列，无限长的序列必须绝对可和（和收敛）
表达公式：用一系列周期的复指数信号之和表示周期的离散序列

[egin{aligned} x_N(n) &= sum_{k=<N>} a_k e^{jkfrac{2pi}{N}n}\ a_k &= frac{1}{N}sum_{n=<N>} x_N(n) e^{-jkfrac{2pi}{N}n} end{aligned} ]

其中(a_k)即为离散时间傅里叶系数（DTFS），注意符号(displaystylesum_{n=<N>})表示的是序列长度为(N)，但是起点可以任意起，通常我们取(n=0,1, cdots ,N-1)。值得注意的是，(a_k)也是周期的，也是离散的。

复指数函数一定是周期函数，但是复指数序列(e^{jOmega n})不一定是周期序列，易证当(Omega)为(2pi)的有理数倍的时候才为周期序列。

非周期序列的DTFT

对象：有限长的非周期序列
表达公式：
设一有限的离散非周期序列的DTFT为(mathscr{F}[x(n)])，则有

[egin{aligned} mathscr{F}[x(n)] &= sum_{n=-infty}^{infty} x(n)e^{-jwn}\ mathscr{F}^{-1}[X(w)] &= frac{1}{2pi}int_{2pi} X(w)e^{jwn}dw\ end{aligned} ]

因为(x(n))是有限长度的，因此它的DTFT是复指数函数之和，也是一个连续的周期函数。与CTFT不同的是，DTFT是累加运算，但IDTFT仍是积分，但限制在(2pi)的区间内。
推导：
与周期信号的思路一致，用无限周期的离散序列来近似代替有限的非周期离散序列。

  1. 设一个有限的非周期序列(x(n))，进行周期延扩得到(x_N(n))；

  2. 对(x_N(n))进行DTFS，有(displaystyle x_N(n) = sum_{k=-N/2}^{N/2-1} a_k e^{jkfrac{2pi}{N}n})，其中(displaystyle a_k = frac{1}{N}sum_{n=-N/2}^{N/2-1} x_N(n) e^{-jkfrac{2pi}{N}n}=frac{1}{N}X(Omega k))；

  3. 当(N o +infty)，(Omega = frac{2pi}{N} o 0)可记为微分(Delta w)，离散量(Delta w k)变为连续量(w)，累加变为积分，即

    [egin{aligned} x(n) &= lim_{N o+infty}x_N(n)\ &= lim_{N o+infty}sum_{k=-N/2}^{N/2-1} a_k e^{jkOmega n}\ &= lim_{N o+infty}sum_{k=-N/2}^{N/2-1} frac{Delta w}{2pi}X(Delta w k) e^{jkOmega n}\ &= frac{1}{2pi}int_{2pi} X(w)e^{jwn}dw\ X(w) &= lim_{N o+infty}sum_{n=-N/2}^{N/2-1} x_N(n) e^{-jkOmega n}\ &= sum_{n=-infty}^{infty} x(n)e^{-jwn} end{aligned} ]

周期序列的DTFT
根据变换对(mathscr{F}(e^{jOmega_0 n})=delta(w - Omega_0))，则对于周期序列(x_N(n))，有

[egin{aligned} mathscr{F}(x_N(n)) &= mathscr{F}(sum_{k=<N>} a_k e^{jkOmega n})\ &= sum_{k=<N>} a_kmathscr{F}(e^{jkOmega n})\ &= sum_{k=<N>} a_kdelta(w-kOmega) end{aligned} ]

可见，周期离散序列的DTFT在频域上是一系列的冲激函数，冲激强度由DFTS的值确定，同时具有周期性。

离散傅里叶系数/变换

实际中我们处理得更多的是离散的、有限长的信号，对离散序列进行DTFT得到的频谱却是连续的，计算机是不能直接进行处理的。在上信号与系统老师一直强调，时域上的离散性对应频域上的周期性，时域上的周期性对应频域上的离散性。因此，有一个很自然的想法，就是对时域上的有限序列进行周期延拓，这样频域上的数据不也是离散的吗？这就是DFT的基本思想，问题的关键是：这种方法好不好呢？准不准呢？

周期序列的DFS

对象：周期序列
说明：DFS可以从DTFS中推导出来，或者说DFS其实是DTFS的另一种形式（多乘了个周期）
表达式：

[X_N(k) = m{DFS}(x_N(n))=Na_k = sum_{n=<N>} x_N(n) e^{-jkfrac{2pi}{N}n}\ x_N(n) = frac{1}{N} sum_{k=<N>} X_N(k) e^{jkfrac{2pi}{N}n} ]

非周期序列的DFT

DFT的基本原理：

  1. (x(n))进行周期延扩得到(x_N(n))，这样时域的周期反映到频域上的离散；

  2. 对(x_N(n))进行DFS得到(X_N(k))，这样时域上的离散反映到频域上的周期；

  3. 取(X_N(k))一个周期的值，得到的就是DFT，即

    [X(k)= m{DFT}[x(n)] = sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-jkfrac{2pi}{N}n},0 le k le N-1\ x(n) =IDFT[X(k)]= frac{1}{N} sum_{n=0}^{N-1} X(k) e^{jkfrac{2pi}{N}n}, 0 le n le N-1\ ]

    DFT可以看成是一个连续函数在时域上和频域上都被采样，由采样定理可知，当对DFT和离散序列乘以相应的采样函数即可得到原函数，也就是说DFT可以看出CTFT的一个近似。同时，对于一个确定的(x(n))可以唯一延拓成唯一的(x_N(n))，因此DFT是惟一的。

总结

傅里叶变换公式

  1. 是指满足绝对可积、有限的极值点和间断点的函数 ↩︎

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