动态规划法
经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。
为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。
【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列
问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：
（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；
（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；
（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。
这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。
【求解】
引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。
问题的递归式写成：
回溯输出最长公共子序列过程：
【算法分析】
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。
【代码实例】
package wrc.zchy.code; /** * 最长公共子序列。经典DP问题。 * 动态规划：本质上是一种 划分自问题算法。任何DP算法都是基于存储的算法，核心是状态转换方程。任何子问题的提出 * 都要依赖于现有的类似结论，而当前子问题的结论是为后面问题的求解铺垫。 * @author wrencai * */ public class LCSubsequence { /** * 求两个字符串的公共【子序列】。 * @param str1 * @param str2 * @return */ static String LCS(String str1 , String str2){ int[][] dp = LCS_DP(str1 , str2); int m = dp.length - 1 , n = dp[0].length -1; char[] lcs = new char[dp[m][n]]; int c = lcs.length-1; while(c >= 0){ if(dp[m][n] > dp[m-1][n] && dp[m][n] > dp[m][n-1]){ lcs[c--] = str1.charAt(m-1); m--; n--; } else if(dp[m][n] == dp[m-1][n]) m--; else n--; } return String.valueOf(lcs); } /** * 求dp[m+1][n+1]矩阵，str1长度m，str2长度n，dp[i][k]表示str1[0..i]和str2[0..k]两个子串之间的最长公共 * 子序列长度。 * @param str1 * @param str2 * @return */ static int[][] LCS_DP(String str1 , String str2){ int m = str1.length() , n = str2.length(); int[][] dp = new int[m+1][n+1]; for(int i = 0 ; i < dp.length ; i ++) dp[i] = new int[n+1]; // 计算dp数组 for(int i = 1 ; i < dp.length ; i++) for(int k = 1 ; k < dp[0].length ; k++){ if(str1.charAt(i-1) == str2.charAt(k-1)) dp[i][k] = dp[i-1][k-1] + 1; else if(dp[i-1][k] >= dp[i][k-1]) dp[i][k] = dp[i-1][k]; else dp[i][k] = dp[i][k-1]; } return dp; } public static void main(String[] args) { String str1 = "ABCBDAB"; String str2 = "BDCABA"; int[][] dp = LCS_DP(str1,str2); for(int i = 0 ; i < dp.length ; i++){ for(int k = 0 ; k < dp[0].length ; k++) System.out.print(dp[i][k]+","); System.out.println(""); } System.out.println(LCS(str1,str2)); }//end function main }