由于查找运算的使用频率很高，几乎在任何一个计算机系统软件和应用软件中都会涉及到，所以当问题所涉及的数据量相当大时，查找方法的效率就显得格外重要。在一些实时查询系统中尤其如此。因此，本章将系统地讨论各种查找方法，并通过对它们的效率分析来比较各种查找方法的优劣。
查找的基本概念1、查找表和查找
一般，假定被查找的对象是由一组结点组成的表(Table)或文件，而每个结点则由若干个数据项组成。并假设每个结点都有一个能惟一标识该结点的关键字。
查找(Searching)的定义是：给定一个值K，在含有n个结点的表中找出关键字等于给定值K的结点。若找到，则查找成功，返回该结点的信息或该结点在表中的位置；否则查找失败，返回相关的指示信息。
2、查找表的数据结构表示
（1）动态查找表和静态查找表
若在查找的同时对表做修改操作(如插入和删除)，则相应的表称之为动态查找表。否则称之为静态查找表。
（2）内查找和外查找
和排序类似，查找也有内查找和外查找之分。若整个查找过程都在内存进行，则称之为内查找；反之，若查找过程中需要访问外存，则称之为外查找。
3、平均查找长度ASL
查找运算的主要操作是关键字的比较，所以通常把查找过程中对关键字需要执行的 平均比较次数(也称为平均查找长度)作为衡量一个查找算法效率优劣的标准。
平均查找长度 ASL(Average Search Length)定义为：
其中：
①n是结点的个数；
②Pi是查找第i个结点的概率。若不特别声明，认为每个结点的查找概率相等，即
pl=p2…=pn=1/n
③ci是找到第i个结点所需进行的比较次数。
注意：
为了简单起见，假定表中关键字的类型为整数：
typedef int KeyType； //KeyType应由用户定义
线性表的查找
顺序查找(Sequential Search) 在表的组织方式中，线性表是最简单的一种。顺序查找是一种最简单的查找方法。
1、顺序查找的基本思想
基本思想是：从表的一端开始，顺序扫描线性表，依次将扫描到的结点关键宇和给定值K相比较。若当前扫描到的结点关键字与K相等，则查找成功；若扫描结束后，仍未找到关键字等于K的结点，则查找失败。
2、顺序查找的存储结构要求 顺序查找方法既适用于线性表的顺序存储结构，也适用于线性表的链式存储结构（使用单链表作存储结构时，扫描必须从第一个结点开始）。
3、基于顺序结构的顺序查找算法
（1）类型说明
typedef struct{
KeyType key；
InfoType otherinfo； //此类型依赖于应用
}NodeType；
typedef NodeType SeqList[n+1]； //0号单元用作哨兵
（2）具体算法
int SeqSearch(Seqlist R，KeyType K)
{ //在顺序表R[1..n]中顺序查找关键字为K的结点，
//成功时返回找到的结点位置，失败时返回0
int i；
R[0].key=K； //设置哨兵
for(i=n；R[i].key!=K;i--)； //从表后往前找
return i； //若i为0，表示查找失败，否则R[i]是要找的结点
} //SeqSearch
注意：
监视哨设在高端的顺序查找【参见练习】
（3）算法分析
① 算法中监视哨R[0]的作用
为了在for循环中省去判定防止下标越界的条件i≥1，从而节省比较的时间。
②成功时的顺序查找的平均查找长度：
在等概率情况下，pi=1/n(1≤i≤n)，故成功的平均查找长度为
(n+…+2+1)/n=(n+1)/2
即查找成功时的平均比较次数约为表长的一半。
若K值不在表中，则须进行n+1次比较之后才能确定查找失败。
③表中各结点的查找概率并不相等的ASL
顺序查找演示过程【动画演示】
【例】在由全校学生的病历档案组成的线性表中，体弱多病同学的病历的查找概率必然高于健康同学的病历，由于上式的ASLsq在pn≥pn-1≥…≥p2≥p1时达到最小值。
若事先知道表中各结点的查找概率不相等和它们的分布情况，则应将表中结点按查找概率由小到大地存放，以便提高顺序查找的效率。
为了提高查找效率，对算法SeqSearch做如下修改：每当查找成功，就将找到的结点和其后继(若存在)结点交换。这样，使得查找概率大的结点在查找过程中不断往后移，便于在以后的查找中减少比较次数。
④顺序查找的优点
算法简单，且对表的结构无任何要求，无论是用向量还是用链表来存放结点，也无论结点之间是否按关键字有序，它都同样适用。
⑤顺序查找的缺点
查找效率低，因此，当n较大时不宜采用顺序查找。
二分查找1、二分查找(Binary Search) 二分查找又称折半查找，它是一种效率较高的查找方法。
二分查找要求：线性表是有序表，即表中结点按关键字有序，并且要用向量作为表的存储结构。不妨设有序表是递增有序的。
2、二分查找的基本思想
二分查找的基本思想是：（设R[low..high]是当前的查找区间）
（1）首先确定该区间的中点位置：
（2）然后将待查的K值与R[mid].key比较：若相等，则查找成功并返回此位置，否则须确定新的查找区间，继续二分查找，具体方法如下：
①若R[mid].key>K，则由表的有序性可知R[mid..n].keys均大于K，因此若表中存在关键字等于K的结点，则该结点必定是在位置mid左边的子表R[1..mid-1]中，故新的查找区间是左子表R[1..mid-1]。
②类似地，若R[mid].key<K，则要查找的K必在mid的右子表R[mid+1..n]中，即新的查找区间是右子表R[mid+1..n]。下一次查找是针对新的查找区间进行的。
因此，从初始的查找区间R[1..n]开始，每经过一次与当前查找区间的中点位置上的结点关键字的比较，就可确定查找是否成功，不成功则当前的查找区间就缩小一半。这一过程重复直至找到关键字为K的结点，或者直至当前的查找区间为空(即查找失败)时为止。
3、二分查找算法
int BinSearch(SeqList R，KeyType K)
{ //在有序表R[1..n]中进行二分查找，成功时返回结点的位置，失败时返回零
int low=1，high=n，mid； //置当前查找区间上、下界的初值
while(low<=high){ //当前查找区间R[low..high]非空
mid=(low+high)/2；
if(R[mid].key==K) return mid； //查找成功返回
if(R[mid].kdy>K)
high=mid-1; //继续在R[low..mid-1]中查找
else
low=mid+1； //继续在R[mid+1..high]中查找
}
return 0； //当low>high时表示查找区间为空，查找失败
} //BinSeareh
二分查找算法亦很容易给出其递归程序【参见练习】
4、 二分查找算法的执行过程 设算法的输入实例中有序的关键字序列为
(05，13，19，21，37，56，64，75，80，88，92)
要查找的关键字K分别是21和85。具体查找过程【参见动画演示】
分块查找
分块查找(Blocking Search)又称索引顺序查找。它是一种性能介于顺序查找和二分查找之间的查找方法。
1、 二分查找表存储结构
二分查找表由"分块有序"的线性表和索引表组成。
（1）"分块有序"的线性表
表R[1..n]均分为b块，前b-1块中结点个数为 
，第b块的结点数小于等于s；每一块中的关键字不一定有序，但前一块中的最大关键字必须小于后一块中的最小关键字，即表是"分块有序"的。
（2）索引表
抽取各块中的最大关键字及其起始位置构成一个索引表ID[l..b]，即：
ID[i](1≤i≤b)中存放第i块的最大关键字及该块在表R中的起始位置。由于表R是分块有序的，所以索引表是一个递增有序表。
【例】下图就是满足上述要求的存储结构，其中R只有18个结点，被分成3块，每块中有6个结点，第一块中最大关键字22小于第二块中最小关键字24，第二块中最大关键字48小于第三块中最小关键字49。
2、分块查找的基本思想
分块查找的基本思想是：
（1）首先查找索引表
索引表是有序表，可采用二分查找或顺序查找，以确定待查的结点在哪一块。
（2）然后在已确定的块中进行顺序查找
由于块内无序，只能用顺序查找。
3、分块查找示例 【例】对于上例的存储结构：
（1）查找关键字等于给定值K=24的结点
因为索引表小，不妨用顺序查找方法查找索引表。即首先将K依次和索引表中各关键字比较，直到找到第1个关键宇大小等于K的结点，由于K<48，所以关键字为24的结点若存在的话，则必定在第二块中；然后，由ID[2].addr找到第二块的起始地址7，从该地址开始在R[7..12]中进行顺序查找，直到R[11].key=K为止。
（2）查找关键字等于给定值K=30的结点
先确定第二块，然后在该块中查找。因该块中查找不成功，故说明表中不存在关键字为30的结点。
具体过程【参见动画演示】
4、算法分析
（1）平均查找长度ASL
分块查找是两次查找过程。整个查找过程的平均查找长度是两次查找的平均查找长度之和。
①以二分查找来确定块，分块查找成功时的平均查找长度
ASLblk=ASLbn+ASLsq≈lg(b+1)-1+(s+1)/2≈lg(n/s+1)+s/2
②以顺序查找确定块，分块查找成功时的平均查找长度
ASL'blk=(b+1)/2+(s+1)/2=(s2+2s+n)/(2s)
注意：
当 s=
时ASL'blk取极小值 +1 ，即当采用顺序查找确定块时，应将各块中的结点数选定为 。
【例】若表中有10000个结点，则应把它分成100个块，每块中含100个结点。用顺序查找确定块，分块查找平均需要做100次比较，而顺序查找平均需做5000次比较，二分查找最多需14次比较。
注意：
分块查找算法的效率介于顺序查找和二分查找之间。
（2）块的大小
在实际应用中，分块查找不一定要将线性表分成大小相等的若干块，可根据表的特征进行分块。
【例】一个学校的学生登记表，可按系号或班号分块。
（3） 结点的存储结构
各块可放在不同的向量中，也可将每一块存放在一个单链表中。
（4）分块查找的优点
分块查找的优点是：
①在表中插入或删除一个记录时，只要找到该记录所属的块，就在该块内进行插入和删除运算。
②因块内记录的存放是任意的，所以插入或删除比较容易，无须移动大量记录。
分块查找的主要代价是增加一个辅助数组的存储空间和将初始表分块排序的运算。
当用线性表作为表的组织形式时，可以有三种查找法。其中以二分查找效率最高。但由于二分查找要求表中结点按关键字有序，且不能用链表作存储结构，因此，当表的插入或删除操作频繁时，为维护表的有序性，势必要移动表中很多结点。这种由移动结点引起的额外时间开销，就会抵消二分查找的优点。也就是说，二分查找只适用于静态查找表。若要对动态查找表进行高效率的查找，可采用下面介绍的几种特殊的二叉树或树作为表的组织形式。不妨将它们统称为树表。下面将分别讨论在这些树表上进行查找和修改操作的方法。
二叉排序树
1、二叉排序树的定义
二叉排序树(Binary Sort Tree)又称二叉查找(搜索)树(Binary Search Tree)。其定义为：二叉排序树或者是空树，或者是满足如下性质的二叉树：
①若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
②若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；
③左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。
上述性质简称二叉排序树性质(BST性质)，故二叉排序树实际上是满足BST性质的二叉树。
2、二叉排序树的特点
由BST性质可得：
（1） 二叉排序树中任一结点x，其左(右)子树中任一结点y(若存在)的关键字必小(大)于x的关键字。
（2） 二叉排序树中，各结点关键字是惟一的。
注意：
实际应用中，不能保证被查找的数据集中各元素的关键字互不相同，所以可将二叉排序树定义中BST性质(1)里的"小于"改为"大于等于"，或将BST性质(2)里的"大于"改为"小于等于"，甚至可同时修改这两个性质。
（3） 按中序遍历该树所得到的中序序列是一个递增有序序列。
【例】下图所示的两棵树均是二叉排序树，它们的中序序列均为有序序列：2，3，4，5，7，8。
3、二叉排序树的存储结构
typedef int KeyType； //假定关键字类型为整数
typedef struct node { //结点类型
KeyType key； //关键字项
InfoType otherinfo； //其它数据域，InfoType视应用情况而定，下面不处理它
struct node *lchild，*rchild； //左右孩子指针
} BSTNode；
typedef BSTNode *BSTree； //BSTree是二叉排序树的类型
当查找的文件较大，且存放在磁盘等直接存取设备中时，为了减少查找过程中对磁盘的读写次数，提高查找效率，基于直接存取设备的读写操作以"页"为单位的特征。
1972年R.Bayer和E.M.McCreight提出了一种称之为B-树的多路平衡查找树。它适合在磁盘等直接存取设备上组织动态的查找表。
B-树的定义1、B-树的定义
一棵m(m≥3)阶的B-树是满足如下性质的m叉树：
(1)每个结点至少包含下列数据域：
(j，P0，Kl，P1，K2，…，Ki，Pi)
其中：
j为关键字总数
Ki(1≤i≤j)是关键字，关键字序列递增有序：K1 <K2<…<Ki。
Pi(0≤i≤j)是孩子指针。对于叶结点，每个Pi为空指针。
注意：
①实用中为节省空间，叶结点中可省去指针域Pi，但必须在每个结点中增加一个标志域leaf，其值为真时表示叶结点，否则为内部结点。
②在每个内部结点中，假设用keys(Pi)来表示子树Pi中的所有关键字，则有：
keys(P0)<K1<keys(P1)<K2<…<Ki<keys(Pi)
即关键字是分界点，任一关键字Ki左边子树中的所有关键字均小于Ki，右边子树中的所有关键字均大于Ki。
(2)所有叶子是在同一层上，叶子的层数为树的高度h。
(3)每个非根结点中所包含的关键字个数j满足：
。
即每个非根结点至少应有
个关键字，至多有m-1个关键字。
因为每个内部结点的度数正好是关键字总数加1，故每个非根的内部结点至少有
子树，至多有m棵子树。
(4)若树非空，则根至少有1个关键字，故若根不是叶子，则它至少有2棵子树。根至多有m-1个关键字，故至多有m棵子树。
散列技术
散列方法不同于顺序查找、二分查找、二叉排序树及B-树上的查找。它不以关键字的比较为基本操作，采用直接寻址技术。在理想情况下，无须任何比较就可以找到待查关键字，查找的期望时间为O(1)。
散列表的概念
1、散列表
设所有可能出现的关键字集合记为U(简称全集)。实际发生(即实际存储)的关键字集合记为K（|K|比|U|小得多）。
散列方法是使用函数h将U映射到表T[0..m-1]的下标上（m=O(|U|)）。这样以U中关键字为自变量，以h为函数的运算结果就是相应结点的存储地址。从而达到在O(1)时间内就可完成查找。
其中：
① h：U→{0，1，2，…，m-1} ，通常称h为散列函数(Hash Function)。散列函数h的作用是压缩待处理的下标范围，使待处理的|U|个值减少到m个值，从而降低空间开销。
② T为散列表(Hash Table)。
③ h(Ki)(Ki∈U)是关键字为Ki结点存储地址(亦称散列值或散列地址)。
④ 将结点按其关键字的散列地址存储到散列表中的过程称为散列(Hashing)
3、散列表的冲突现象
（1）冲突
两个不同的关键字，由于散列函数值相同，因而被映射到同一表位置上。该现象称为冲突(Collision)或碰撞。发生冲突的两个关键字称为该散列函数的同义词(Synonym)。
【例】上图中的k2≠k5，但h(k2)=h(k5)，故k2和K5所在的结点的存储地址相同。
（2）安全避免冲突的条件
最理想的解决冲突的方法是安全避免冲突。要做到这一点必须满足两个条件：
①其一是|U|≤m
②其二是选择合适的散列函数。
这只适用于|U|较小，且关键字均事先已知的情况，此时经过精心设计散列函数h有可能完全避免冲突。
（3）冲突不可能完全避免
通常情况下，h是一个压缩映像。虽然|K|≤m，但|U|>m，故无论怎样设计h，也不可能完全避免冲突。因此，只能在设计h时尽可能使冲突最少。同时还需要确定解决冲突的方法，使发生冲突的同义词能够存储到表中。
（4）影响冲突的因素
冲突的频繁程度除了与h相关外，还与表的填满程度相关。
设m和n分别表示表长和表中填人的结点数，则将α=n/m定义为散列表的装填因子(Load Factor)。α越大，表越满，冲突的机会也越大。通常取α≤1。
散列函数的构造方法
1、散列函数的选择有两条标准：简单和均匀。
简单指散列函数的计算简单快速；
均匀指对于关键字集合中的任一关键字，散列函数能以等概率将其映射到表空间的任何一个位置上。也就是说，散列函数能将子集K随机均匀地分布在表的地址集{0，1，…，m-1}上，以使冲突最小化。
2、常用散列函数
为简单起见，假定关键字是定义在自然数集合上。
（1）平方取中法
具体方法：先通过求关键字的平方值扩大相近数的差别，然后根据表长度取中间的几位数作为散列函数值。又因为一个乘积的中间几位数和乘数的每一位都相关，所以由此产生的散列地址较为均匀。
【例】将一组关键字(0100，0110，1010，1001，0111)平方后得
(0010000，0012100，1020100，1002001，0012321)
若取表长为1000，则可取中间的三位数作为散列地址集：
(100，121，201，020，123)。
相应的散列函数用C实现很简单：
int Hash(int key){ //假设key是4位整数
key*=key； key/=100； //先求平方值，后去掉末尾的两位数
return key％1000； //取中间三位数作为散列地址返回
}
（2）除余法
该方法是最为简单常用的一种方法。它是以表长m来除关键字，取其余数作为散列地址，即 h(key)=key％m
该方法的关键是选取m。选取的m应使得散列函数值尽可能与关键字的各位相关。m最好为素数。
【例】若选m是关键字的基数的幂次，则就等于是选择关键字的最后若干位数字作为地址，而与高位无关。于是高位不同而低位相同的关键字均互为同义词。
【例】若关键字是十进制整数，其基为10，则当m=100时，159，259，359，…，等均互为同义词。
（3）相乘取整法
该方法包括两个步骤：首先用关键字key乘上某个常数A(0<A<1)，并抽取出key.A的小数部分；然后用m乘以该小数后取整。即：
该方法最大的优点是选取m不再像除余法那样关键。比如，完全可选择它是2的整数次幂。虽然该方法对任何A的值都适用，但对某些值效果会更好。Knuth建议选取
该函数的C代码为：
int Hash(int key){
double d=key *A； //不妨设A和m已有定义
return (int)(m*(d-(int)d))；//(int)表示强制转换后面的表达式为整数
}
（4）随机数法
选择一个随机函数，取关键字的随机函数值为它的散列地址，即
h(key)=random(key)
其中random为伪随机函数，但要保证函数值是在0到m-1之间。
处理冲突的方法
通常有两类方法处理冲突：开放定址(Open Addressing)法和拉链(Chaining)法。前者是将所有结点均存放在散列表T[0..m-1]中；后者通常是将互为同义词的结点链成一个单链表，而将此链表的头指针放在散列表T[0..m-1]中。
1、开放定址法
（1）开放地址法解决冲突的方法
用开放定址法解决冲突的做法是：当冲突发生时，使用某种探查(亦称探测)技术在散列表中形成一个探查(测)序列。沿此序列逐个单元地查找，直到找到给定的关键字，或者碰到一个开放的地址(即该地址单元为空)为止（若要插入，在探查到开放的地址，则可将待插入的新结点存人该地址单元）。查找时探查到开放的地址则表明表中无待查的关键字，即查找失败。
注意：
①用开放定址法建立散列表时，建表前须将表中所有单元(更严格地说，是指单元中存储的关键字)置空。
②空单元的表示与具体的应用相关。
【例】关键字均为非负数时，可用"-1"来表示空单元，而关键字为字符串时，空单元应是空串。
总之：应该用一个不会出现的关键字来表示空单元。
（2）开放地址法的一般形式
开放定址法的一般形式为： hi=(h(key)+di)％m 1≤i≤m-1
其中：
①h(key)为散列函数，di为增量序列，m为表长。
②h(key)是初始的探查位置，后续的探查位置依次是hl，h2，…，hm-1，即h(key)，hl，h2，…，hm-1形成了一个探查序列。
③若令开放地址一般形式的i从0开始，并令d0=0，则h0=h(key)，则有：
hi=(h(key)+di)％m 0≤i≤m-1
探查序列可简记为hi(0≤i≤m-1)。
（3）开放地址法堆装填因子的要求
开放定址法要求散列表的装填因子α≤l，实用中取α为0.5到0.9之间的某个值为宜。
（4）形成探测序列的方法
按照形成探查序列的方法不同，可将开放定址法区分为线性探查法、二次探查法、双重散列法等。
①线性探查法(Linear Probing)
该方法的基本思想是：
将散列表T[0..m-1]看成是一个循环向量，若初始探查的地址为d(即h(key)=d)，则最长的探查序列为：
d，d+l，d+2，…，m-1，0，1，…，d-1
即:探查时从地址d开始，首先探查T[d]，然后依次探查T[d+1]，…，直到T[m-1]，此后又循环到T[0]，T[1]，…，直到探查到T[d-1]为止。
探查过程终止于三种情况：
(1)若当前探查的单元为空，则表示查找失败（若是插入则将key写入其中）；
(2)若当前探查的单元中含有key，则查找成功，但对于插入意味着失败；
(3)若探查到T[d-1]时仍未发现空单元也未找到key，则无论是查找还是插入均意味着失败(此时表满)。
利用开放地址法的一般形式，线性探查法的探查序列为：
hi=(h(key)+i)％m 0≤i≤m-1 //即di=i
散列表上的运算
散列表上的运算有查找、插入和删除。其中主要是查找，这是因为散列表的目的主要是用于快速查找，且插入和删除均要用到查找操作。
1、散列表类型说明：
#define NIL -1 //空结点标记依赖于关键字类型，本节假定关键字均为非负整数
#define M 997 //表长度依赖于应用，但一般应根据。确定m为一素数
typedef struct{ //散列表结点类型
KeyType key；
InfoType otherinfo； //此类依赖于应用
}NodeType；
typedef NodeType HashTable[m]； //散列表类型
2、基于开放地址法的查找算法
散列表的查找过程和建表过程相似。假设给定的值为K，根据建表时设定的散列函数h，计算出散列地址h(K)，若表中该地址单元为空，则查找失败；否则将该地址中的结点与给定值K比较。若相等则查找成功，否则按建表时设定的处理冲突的方法找下一个地址。如此反复下去，直到某个地址单元为空(查找失败)或者关键字比较相等(查找成功)为止。
（1）开放地址法一般形式的函数表示
int Hash(KeyType k，int i)
{ //求在散列表T[0..m-1]中第i次探查的散列地址hi，0≤i≤m-1
//下面的h是散列函数。Increment是求增量序列的函数，它依赖于解决冲突的方法
return(h(K)+Increment(i))％m； //Increment(i)相当于是di
}
若散列函数用除余法构造，并假设使用线性探查的开放定址法处理冲突，则上述函数中的h(K)和Increment(i)可定义为：
int h(KeyType K){ //用除余法求K的散列地址
return K％m；
}
int Increment(int i){//用线性探查法求第i个增量di
return i; //若用二次探查法，则返回i*i
}