1 概述
在可持久化线段树中，我们常常要使用区间修改操作。这时候，如果再用下传标记再向上更新的方式（PushDown&PushUp）来实现就会变得十分麻烦（因为要可持久化嘛）。
那么，有没有一种实现线段树区间修改的方式可以不用下传标记或向上更新呢？有，那就是标记永久化。
2 原理
标记永久化的原理简单来说就是修改时一路更改被影响到的点，询问时则一路累加路上的标记，从而省去下传标记的操作。
3 代码实现
3.0 说明
这里以区间修改区间求和的线段树为例。
线段树中编号为p的结点的值和标记分别为val[p]和mark[p]。
3.1 建树
标记永久化线段树的建树和标记不永久化线段树的建树没有什么区别，这里就不在赘述，直接上代码吧。
void Build(int p,int l,int r) { if(l==r) {scanf("%lld",&val[p]);return;} int mid=(l+r)>>1; Build(p<<1,l,mid);//递归建左子树 Build(p<<1|1,mid+1,r);//递归建右子树 val[p]=val[p<<1]+val[p<<1|1];//这里是要向上更新一下的 }
3.2 区间修改
0.设要将区间[x,y]中的数都加上v。
1.一路走下去同时更新路上受此次修改影响的节点的值，即val[p]+=(y-x+1)*v。
2.当目前结点所代表的区间与待修改区间完全重合时，更新标记，返回，即mark[p]+=v;
void add(int p,int l,int r,int x,int y,long long v) { val[p]+=(y-x+1)*v;//更新该结点的权值 if(l==x&&r==y) {mark[p]+=v;return;}//更新标记 int mid=(l+r)>>1; if(y<=mid) add(p<<1,l,mid,x,y,v); else if(x>mid) add(p<<1|1,mid+1,r,x,y,v); else add(p<<1,l,mid,x,mid,v),add(p<<1|1,mid+1,r,mid+1,y,v); }
有人可能会问：标记更新后直接返回的话下面的结点不就没更新了吗？
慢慢来嘛，往下看就明白啦。
3.3 区间询问
0.设要要区间[x,y]中的数的总和。
1.一路走下去同时累加路上的标记，因为在修改操作中标记并没有下传，所以要这样子，即ad+=mark[p]。
2.当目前结点所代表的区间与待修改区间完全重合时，返回当前结点的值与累加下来的标记乘上询问区间长度的和，即return val[p]+(y-x+1)*ad。
int ask(int p,int l,int r,int x,int y,int ad)//ad为一路上累加的标记 { if(l==x&&r==y) return val[p]+(y-x+1)*ad; int mid=(l+r)>>1; if(y<=mid) return ask(p<<1,l,mid,x,y,ad+mark[p]); if(x>mid) return ask(p<<1|1,mid+1,r,x,y,ad+mark[p]); return ask(p<<1,l,mid,x,mid,ad+mark[p])+ask(p<<1|1,mid+1,r,mid+1,y,ad+mark[p]); }
4 练习题
代码：
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; long long val[400005],mark[400005]; void Build(int p,int l,int r) { if(l==r) {scanf("%lld",&val[p]);return;} int mid=(l+r)>>1; Build(p<<1,l,mid); Build(p<<1|1,mid+1,r); val[p]=val[p<<1]+val[p<<1|1]; } void add(int p,int l,int r,int x,int y,long long v) { val[p]+=(y-x+1)*v; if(l==x&&r==y) {mark[p]+=v;return;} int mid=(l+r)>>1; if(y<=mid) add(p<<1,l,mid,x,y,v); else if(x>mid) add(p<<1|1,mid+1,r,x,y,v); else add(p<<1,l,mid,x,mid,v),add(p<<1|1,mid+1,r,mid+1,y,v); } long long ask(int p,int l,int r,int x,int y,long long ad) { if(l==x&&r==y) return val[p]+(y-x+1)*ad; int mid=(l+r)>>1; if(y<=mid) return ask(p<<1,l,mid,x,y,ad+mark[p]); if(x>mid) return ask(p<<1|1,mid+1,r,x,y,ad+mark[p]); return ask(p<<1,l,mid,x,mid,ad+mark[p])+ask(p<<1|1,mid+1,r,mid+1,y,ad+mark[p]); } int main() { int n=0,m=0; scanf("%d%d",&n,&m); Build(1,1,n); int opt=0,x=0,y=0; long long k=0; for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d%d",&opt,&x,&y); if(opt==1) { scanf("%lld",&k); add(1,1,n,x,y,k); } else printf("%lld ",ask(1,1,n,x,y,0)); } return 0; }
5 参考资料