十五数码问题及其泛化

题意：给出一个board，上面有24个位置，其中23个位置上放置了标有数字1~23的方块，一个为空位（用数字0表示），现在可以把空位与它旁边的方块交换，给出board的起始状态，问是否可以达到指定的状态。

思路：看起来很像著名的“八数码”问题，首先，针对八个特殊位置（死角），如果这里有空位就把它和相邻的位置交换，这样之后如果两个状态的对应死角上的数字不同，那么显然是不能达到指定状态的，因为无法把死角处的数字换出去。

搞定了死角后就只剩下4×4的board了，这就变成了八数码问题的拓展——15数码。首先想想八数码是如何判断有解的：首先把所有数字（不包括空位的0）写成一行，就得到了一个1~8的排列，考虑空位的交换情况：1.左右交换，2.上下交换。对于左右交换而言，是不会改变写出的排列的逆序数的；而对上下交换，相当于在排列中向前或向后跳了两个位置，那么要么两个数都比它大或小，这样逆序数加2或减2，要么两个数一个比它大一个比它小，这样逆序数不变，综上，对于八数码问题，操作不会改变逆序数的奇偶性，所以只有初始状态和指定状态的逆序数奇偶性相同就有解。

弄清楚了八数码，扩展起来就容易了，现在我们将其扩展到N维（即N*N的board，N*N-1数码问题）。

首先无论N的奇偶，左右交换不改变逆序数，N为奇数时：上下交换逆序数增加N-1或减少N-1或不变，因为N为奇数，所以逆序数奇偶性不变；而N为偶数时：上下交换一次奇偶性改变一次。

结论：N为奇数时，初始状态与指定状态逆序数奇偶性相同即有解；N为偶数时，先计算出从初始状态到指定状态，空位要移动的行数m，如果初始状态的逆序数加上m与指定状态的逆序数奇偶性相同，则有解。

好了，现在这道题就简单了，计算逆序数和空格要移动的行数即可。

/*

 *  Memory 204K Time 31MS   Language C++

*

 *  code by : zhyu

*/

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <algorithm>

#define abs(x) ((x)>0?(x):-(x))

using namespace std;

const int pos[]={0,1,2,7,16,21,22,23};

int f[24];

int a[24],b[24],c[16],d[16];

void init(void)

{

    f[0]=f[2]=3;

    f[1]=f[7]=6;

    f[16]=f[22]=17;

    f[21]=f[23]=20;

}

int main(void)

{

    init();

    int t;

    scanf("%d",&t);

    while(t--)

{

        for(int i=0;i<24;i++)    scanf("%d",a+i);

        for(int i=0;i<24;i++)    scanf("%d",b+i);

        for(int i=0;i<8;i++)

{

            if(a[pos[i]]==0)    swap(a[pos[i]],a[f[pos[i]]]);

            if(b[pos[i]]==0)    swap(b[pos[i]],b[f[pos[i]]]);

}

        bool flag=0;

        for(int i=0;i<8;i++)

{

            if(a[pos[i]]!=b[pos[i]])

{

                flag=1;

                break;

}

}

        if(flag)

{

            puts("Y");

            continue;

}

        int num1=0,num2=0;

        for(int i=0,j;i<24;i++)

{

            bool f1=0;

            for(j=0;j<8;j++) if(i==pos[j])   f1=1;

            if(f1)  continue;

            c[num1++]=a[i];

            d[num2++]=b[i];

}

        int pos1=-1,pos2=-1;

        int cnt1=0,cnt2=0;

        for(int i=1;i<16;i++)

{

            if(c[i]==0) pos1=i;

            else

{

                for(int j=0;j<i;j++)

                    if(c[i]<c[j])

                        cnt1++;

}

}

        for(int i=1;i<16;i++)

{

            if(d[i]==0) pos2=i;

            else

{

                for(int j=0;j<i;j++)

                    if(d[i]<d[j])

                        cnt2++;

}

}

        int diff=abs(pos1/4-pos2/4);

        if(abs(diff+cnt1-cnt2)%2==0)    puts("N");

        else    puts("Y");

}

    return 0;

}