POJ3666 Making the Grade

题意：

给定一个长度为n的序列A，构造一个长度为n的序列B，满足b非严格单调，并且最小化S=∑_i=1^N|Ai-Bi|，求出这个最小值S,1<=N<=2000,1<=Ai<=1e9.

引理：在满足S最小化的情况下，一定存在一种构造序列B的方案，使得B中的数值都在A中出现过。

由此，用一个数组b[i]初始化=a[i]，然后对b从小到大排序，用f[i][j]表示完成了B中前i个数的构造，第i个数为b[j]时的最小的S.当第i个数等于b[j]时，因为B序列是单调递增的，所以之前构造的数一定在b[1]~b[j]之间，用tmp维护其最小值即可，则有：

    for(res i=1 ; i<=n ; i++)
    {
        LL tmp=f[i-1][1];
        for(res j=1 ; j<=n ; j++)
        {
            tmp=min(tmp,f[i-1][j]);
            f[i][j]=tmp+abs(a[i]-b[j])
        }
    }

最后答案即为f[1~n]的最小值。

进一步优化：

发现第一维可以省略掉。

完整代码：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <iostream>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 using namespace std;
 6 
 7 #define INF (2147483640)
 8 const int N=4000+100;
 9 int a[N],b[N];
10 int f[N],n;
11 
12 int main()
13 {
14     scanf("%d",&n);
15     for(int i=1 ; i<=n ; i++) scanf("%d",&a[i]),b[i]=a[i];    
16     
17     sort(b+1,b+n+1);
18     int ans=INF;
19     for(int i=1 ; i<=n ; i++)
20     {
21         int t=INF;
22         for(int j=1 ; j<=n ; j++)
23         {
24             t=min(t,f[j]);
25             f[j]=abs(b[j]-a[i])+t;
26         }
27     }
28     for(int i=1 ; i<=n ; i++)
29         ans=min(ans,f[i]);
30     printf("%d
",ans);
31     return 0;
32 }
33

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