【NFLSPC#4】嘉然今天吃什么
感谢 @zhoukangyang 神仙的帮助。
Solution
令 \(s_i\) 表示选了 \(i\) 个灯后仍然不合法的概率，那么 \(E(x)=\sum_{i=0}^{n}s_i\)。
考虑如何计算 \(s_i\)，我们要满足这 \(i\) 个灯间隔至少有一个 \(\ge k\)，不妨考虑容斥，假设有 \(j\) 个间隔超出限制，则：
\[\begin{aligned}s_i&=\frac{\sum_{j}(-1)^{j-1}\binom{n-jk}{i}\binom{i+1}{j}}{\binom{n}{i}}\\ans&=\sum_{i}s_i\\&=\sum_{i}\frac{\sum_{j}(-1)^{j-1}\binom{n-jk}{i}\binom{i+1}{j}}{\binom{n}{i}}\\&=\sum_{j}(-1)^{j-1}\sum_{i}\frac{\binom{n-jk}{i}}{\binom{n}{i}}\binom{i+1}{j}\\&=\sum_{j}(-1)^{j-1}\frac{(n-jk)!(jk)!}{n!}\sum_{i}\binom{n-i}{jk}\binom{i+1}{j}\\&=\sum_{j}(-1)^{j-1}\frac{(n-jk)!(jk)!}{n!}\binom{n+2}{jk+j+1}\end{aligned}
\]
时间复杂度 \(\mathcal O(n)\)。